Номер 1288, страница 240 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина нити: $l$

Напряженность электростатического поля: $\vec{E}$

Ускорение свободного падения: $\vec{g}$

Взаимная перпендикулярность полей: $\vec{E} \perp \vec{g}$

Масса шарика: $m$

Заряд шарика: $q$

Найти:

Частоту малых колебаний: $\nu$

Решение:

На шарик действуют две постоянные силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$ и электростатическая сила $\vec{F_e} = q\vec{E}$. Так как гравитационное и электростатическое поля по условию взаимно перпендикулярны, то и действующие силы $\vec{F_g}$ и $\vec{F_e}$ также перпендикулярны друг другу.

Равнодействующая этих двух сил $\vec{F}_{рез}$ является постоянной по модулю и направлению силой, которая определяет положение равновесия маятника. В положении равновесия сила натяжения нити $\vec{T}$ уравновешивает $\vec{F}_{рез}$. Модуль равнодействующей силы найдем по теореме Пифагора:

$F_{рез} = \sqrt{F_g^2 + F_e^2} = \sqrt{(mg)^2 + (qE)^2}$

Колебания шарика будут происходить вокруг этого положения равновесия. Такую систему можно рассматривать как математический маятник, находящийся в "эффективном" поле тяжести с ускорением $g_{эфф}$. Это эффективное ускорение можно найти из соотношения $F_{рез} = m g_{эфф}$:

$g_{эфф} = \frac{F_{рез}}{m} = \frac{\sqrt{(mg)^2 + (qE)^2}}{m} = \sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}$

Формула для периода малых колебаний математического маятника имеет вид $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. В данном случае необходимо заменить ускорение свободного падения $g$ на эффективное ускорение $g_{эфф}$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}}}$

Частота колебаний $\nu$ — это величина, обратная периоду $T$:

$\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}}}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2}}{l}}$

Это выражение можно также записать в виде:

$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{l}}\left(g^2 + \left(\frac{qE}{m}\right)^2\right)^{1/4}$

Ответ:

Частота малых колебаний шарика равна $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + (qE/m)^2}}{l}}$.