Номер 1281, страница 239 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:
$T_1$ – период колебаний маятника в равномерно движущемся автобусе.
$T_2$ – период колебаний маятника в автобусе, движущемся с горизонтальным ускорением $\vec{a}$.
$g$ – ускорение свободного падения.
$l$ – длина маятника.

Найти:
$\frac{T_1}{T_2}$

Решение:
Период колебаний математического маятника определяется формулой:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$
где $l$ – длина маятника, а $g_{eff}$ – эффективное ускорение свободного падения.

1. Когда автобус движется равномерно, система отсчета, связанная с автобусом, является инерциальной. На маятник действует только сила тяжести, направленная вертикально вниз. В этом случае эффективное ускорение равно ускорению свободного падения: $g_{eff_1} = g$.
Период колебаний $T_1$ равен:
$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

2. Когда автобус движется с горизонтальным ускорением $\vec{a}$, система отсчета, связанная с автобусом, становится неинерциальной. В этой системе отсчета на маятник, помимо силы тяжести $m\vec{g}$, действует сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}$, направленная горизонтально в сторону, противоположную ускорению.
Результирующая сила, определяющая положение равновесия и колебания маятника, является векторной суммой силы тяжести и силы инерции. Эти две силы перпендикулярны друг другу.
Эффективное ускорение $g_{eff_2}$ можно найти как результат векторного сложения ускорения свободного падения $\vec{g}$ и ускорения $(-\vec{a})$: $g_{eff_2} = |\vec{g} - \vec{a}| = \sqrt{g^2 + a^2}$.
Новый период колебаний $T_2$ будет равен:
$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff_2}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + a^2}}}$

3. Найдем отношение периодов $\frac{T_1}{T_2}$:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + a^2}}}} = \sqrt{\frac{l/g}{l/\sqrt{g^2 + a^2}}} = \sqrt{\frac{1}{g} \cdot \frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{1}} = \sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{g}}$
Этот же результат можно записать в виде:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt[4]{\frac{g^2 + a^2}{g^2}} = \sqrt[4]{1 + (\frac{a}{g})^2}$
Ответ: Период колебаний изменится в $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{g}}$ раз.