Номер 1274, страница 239 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l$ - длина математического маятника

$\alpha$ - угол наклона плоскости к горизонту

$g$ - ускорение свободного падения

Найти:

$T$ - период малых колебаний

Решение:

Математический маятник представляет собой материальную точку массой $m$ на нерастяжимой и невесомой нити длиной $l$. Когда маятник находится на наклонной плоскости, на него действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.

Движение маятника происходит в плоскости, наклоненной под углом $\alpha$ к горизонту. Для анализа движения разложим силу тяжести на две составляющие: одну перпендикулярную наклонной плоскости ($F_{g\perp}$) и другую параллельную ей ($F_{g\parallel}$).

Составляющая, перпендикулярная плоскости, равна $F_{g\perp} = mg \cos\alpha$. Она уравновешивается силой нормальной реакции $N$, так как маятник не отрывается от плоскости и не проваливается сквозь нее.

Составляющая, параллельная плоскости, равна $F_{g\parallel} = mg \sin\alpha$. Эта сила направлена вдоль линии наибольшего ската и играет роль возвращающей силы для колебаний. Положение равновесия маятника — это когда нить направлена вдоль этой силы.

Таким образом, колебания маятника на наклонной плоскости аналогичны колебаниям обычного математического маятника, но в поле с эффективным ускорением свободного падения $g_{eff}$, которое равно проекции ускорения $g$ на наклонную плоскость:

$g_{eff} = g \sin\alpha$

Период малых колебаний математического маятника в стандартном случае (в вертикальной плоскости) определяется формулой:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Для определения периода колебаний маятника на наклонной плоскости необходимо в этой формуле заменить $g$ на $g_{eff}$:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g \sin\alpha}}$

Эта формула имеет смысл: при $\alpha = 90^\circ$ (вертикальная плоскость) $\sin(90^\circ)=1$, и мы получаем стандартную формулу $T = 2\pi \sqrt{l/g}$. При $\alpha = 0^\circ$ (горизонтальная плоскость) $\sin(0^\circ)=0$, и период стремится к бесконечности, что означает отсутствие колебаний, так как нет возвращающей силы.

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g \sin\alpha}}$