Номер 1267, страница 238 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Амплитуда $A = 10 \text{ см}$

Частота $\nu = 2,0 \text{ Гц}$

Полная энергия $W = 0,080 \text{ Дж}$

Начальная фаза $\varphi_0 = 30^\circ$

Перевод в систему СИ:

$A = 10 \text{ см} = 0,10 \text{ м}$

$\varphi_0 = 30^\circ = 30 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

Найти:

Массу осциллятора $m$

Кинематическое уравнение колебаний $x(t)$

Решение:

1. Определение массы осциллятора $m$.

Полная энергия гармонического осциллятора $W$ связана с его массой $m$, амплитудой $A$ и циклической частотой $\omega$ соотношением:

$W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ формулой:

$\omega = 2\pi\nu$

Подставим выражение для циклической частоты в формулу для энергии:

$W = \frac{1}{2} m (2\pi\nu)^2 A^2 = \frac{1}{2} m \cdot 4\pi^2\nu^2 A^2 = 2\pi^2m\nu^2A^2$

Выразим массу $m$ из этой формулы:

$m = \frac{W}{2\pi^2\nu^2A^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$m = \frac{0,080 \text{ Дж}}{2\pi^2 (2,0 \text{ Гц})^2 (0,10 \text{ м})^2} = \frac{0,080}{2\pi^2 \cdot 4 \cdot 0,01} = \frac{0,080}{0,08\pi^2} = \frac{1}{\pi^2} \approx 0,1013 \text{ кг}$

С учетом точности исходных данных (два значащих разряда), округляем результат:

$m \approx 0,10 \text{ кг}$

2. Составление кинематического уравнения $x(t)$.

Общий вид кинематического уравнения гармонических колебаний:

$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$

Нам известны амплитуда $A=0,10 \text{ м}$ и начальная фаза $\varphi_0 = \pi/6 \text{ рад}$. Найдем циклическую частоту $\omega$:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 2,0 \text{ Гц} = 4\pi \text{ рад/с}$

Теперь подставим все известные значения в общее уравнение:

$x(t) = 0,10 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{6})$

В этом уравнении смещение $x$ выражено в метрах, а время $t$ — в секундах.

Ответ: Масса гармонического осциллятора $m \approx 0,10 \text{ кг}$. Кинематическое уравнение колебаний имеет вид $x(t) = 0,10 \cos(4\pi t + \frac{\pi}{6})$ (в СИ).