Номер 1260, страница 237 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$a_{max} = 50 \frac{см}{с^2}$

$T = 2,0 \text{ с}$

$x_0 = 25 \text{ мм}$

$a_{max} = 50 \frac{см}{с^2} = 0,5 \frac{м}{с^2}$
$T = 2,0 \text{ с}$
$x_0 = 25 \text{ мм} = 0,025 \text{ м}$

Найти:

$x(t) - ?$

Решение:

Уравнение гармонического (синусоидального) колебательного движения в общем виде записывается как:

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая (круговая) частота, $t$ — время, $\phi_0$ — начальная фаза колебаний.

1. Найдем циклическую частоту $\omega$, зная период колебаний $T$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2,0 \text{ с}} = \pi \text{ рад/с}$

2. Ускорение точки при гармонических колебаниях является второй производной от смещения по времени:

$a(t) = x''(t) = -A \omega^2 \sin(\omega t + \phi_0)$

Модуль максимального ускорения равен:

$a_{max} = A \omega^2$

Отсюда можем выразить и найти амплитуду колебаний $A$:

$A = \frac{a_{max}}{\omega^2} = \frac{0,5 \text{ м/с}^2}{(\pi \text{ рад/с})^2} = \frac{0,5}{\pi^2} \text{ м}$

Для упрощения вычислений в учебных задачах часто используют приближение $\pi^2 \approx 10$. Воспользуемся им:

$A \approx \frac{0,5}{10} \text{ м} = 0,05 \text{ м}$

3. Найдем начальную фазу колебаний $\phi_0$. Для этого используем начальное условие: в момент времени $t=0$ смещение $x(0) = x_0$.

Подставим эти значения в общее уравнение движения:

$x_0 = A \sin(\omega \cdot 0 + \phi_0) = A \sin(\phi_0)$

Выразим $\sin(\phi_0)$:

$\sin(\phi_0) = \frac{x_0}{A}$

Подставим числовые значения:

$\sin(\phi_0) = \frac{0,025 \text{ м}}{0,05 \text{ м}} = 0,5$

Отсюда находим начальную фазу $\phi_0$. Поскольку в условии не задано направление начальной скорости, мы можем выбрать наименьшее положительное значение фазы:

$\phi_0 = \arcsin(0,5) = \frac{\pi}{6} \text{ рад}$

4. Теперь, зная все параметры ($A$, $\omega$, $\phi_0$), мы можем записать итоговое уравнение движения $x(t)$ в СИ:

$x(t) = 0,05 \sin(\pi t + \frac{\pi}{6})$

Ответ: Уравнение гармонического колебательного движения имеет вид $x(t) = 0,05 \sin(\pi t + \frac{\pi}{6})$ (где $x$ выражено в метрах, $t$ — в секундах).