Номер 1253, страница 236 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Период колебаний $T = 3,6$ с

Начальная фаза $\phi_0 = 0$

Отклонение от положения равновесия $x = A/2$, где $A$ - амплитуда.

Найти:

Промежуток времени $\Delta t$

Решение:

Уравнение гармонических синусоидальных колебаний имеет вид:

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $t$, $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $\phi_0$ — начальная фаза.

По условию задачи, начальная фаза равна нулю ($\phi_0 = 0$), следовательно, уравнение движения маятника принимает вид:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

Это означает, что в начальный момент времени $t=0$ маятник находился в положении равновесия ($x(0) = 0$).

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Нам необходимо найти промежуток времени $t$, за который маятник отклонится на половину амплитуды, то есть когда $x(t) = A/2$. Подставим это условие в уравнение колебаний:

$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$

Разделим обе части уравнения на $A$ (при условии, что $A \neq 0$):

$\frac{1}{2} = \sin(\omega t)$

Отсюда, фаза колебаний $(\omega t)$ равна арксинусу 1/2. Нас интересует наименьший промежуток времени, поэтому берем наименьшее положительное значение угла:

$\omega t = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$

Теперь подставим выражение для циклической частоты $\omega = \frac{2\pi}{T}$:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$

Выразим отсюда время $t$. Поскольку движение начинается из положения равновесия в момент $t_0 = 0$, то искомый промежуток времени $\Delta t$ будет равен $t$.

$\Delta t = t = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$

Подставим заданное значение периода $T = 3,6$ с:

$\Delta t = \frac{3,6 \text{ с}}{12} = 0,3 \text{ с}$

Ответ: $0,3$ с.