Номер 1251, страница 235 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Амплитуда $A = 10$ см

Период $T = 2,0$ с

Смещение $x_1 = 6,0$ см

Модуль скорости $|v_1| = 10 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

Перевод в СИ:

$A = 0,1$ м

$T = 2,0$ с

$x_1 = 0,06$ м

$|v_1| = 0,1 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Уравнение колебаний $x(t)$, фазы $\varphi_1$ и $\varphi_2$.

Решение:

Общий вид уравнения гармонических (синусоидальных) колебаний:

$x(t) = A \sin(\omega t + \varphi_0)$

где $A$ – амплитуда, $\omega$ – циклическая (круговая) частота, $\varphi_0$ – начальная фаза.

Циклическая частота связана с периодом $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим значение периода $T = 2,0$ с:

$\omega = \frac{2\pi}{2,0} = \pi$ рад/с

Поскольку начальные условия не заданы, для простоты примем начальную фазу $\varphi_0 = 0$. Тогда уравнение колебаний принимает вид:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

Подставляя известные значения $A$ и $\omega$, получим уравнение движения. Можно записать его как в единицах СИ (метры), так и в сантиметрах.

В сантиметрах: $A = 10$ см, $\omega = \pi$ рад/с $\implies x(t) = 10 \sin(\pi t)$

В системе СИ: $A = 0,1$ м, $\omega = \pi$ рад/с $\implies x(t) = 0,1 \sin(\pi t)$

Ответ: Уравнение колебаний точки $x(t) = 0,1 \sin(\pi t)$ (в метрах) или $x(t) = 10 \sin(\pi t)$ (в сантиметрах).

Фаза колебаний в произвольный момент времени $t$ определяется выражением $\varphi = \omega t + \varphi_0$. В нашем случае $\varphi = \pi t$.

а) когда смещение точки $x_1 = 6,0$ см

В этот момент времени уравнение колебаний можно записать через фазу $\varphi_1$:

$x_1 = A \sin(\varphi_1)$

Отсюда выражаем синус фазы:

$\sin(\varphi_1) = \frac{x_1}{A}$

Подставляем числовые значения (удобнее использовать сантиметры):

$\sin(\varphi_1) = \frac{6,0 \text{ см}}{10 \text{ см}} = 0,6$

Находим фазу $\varphi_1$, взяв арксинус от полученного значения. Мы ищем наименьшее положительное значение.

$\varphi_1 = \arcsin(0,6) \approx 0,6435$ рад

Стоит отметить, что существует и другое значение фазы в пределах одного периода, $\varphi'_1 = \pi - \varphi_1 \approx 2,498$ рад, при котором смещение будет таким же, но тело будет двигаться в противоположном направлении.

Ответ: $\varphi_1 \approx 0,64$ рад (или $\approx 37^\circ$).

б) когда модуль скорости точки $v_1 = 10 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

Скорость точки $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \sin(\omega t)) = A\omega \cos(\omega t)$

В момент времени, когда фаза равна $\varphi_2$, скорость будет:

$v_1 = A\omega \cos(\varphi_2)$

Нам дан модуль скорости, поэтому:

$|v_1| = |A\omega \cos(\varphi_2)|$

Вычислим амплитудное (максимальное) значение скорости $v_{max} = A\omega$:

$v_{max} = 10 \text{ см} \cdot \pi \text{ рад/с} = 10\pi \frac{\text{см}}{\text{с}} \approx 31,4 \frac{\text{см}}{\text{с}}$

Подставим значения в уравнение для модуля скорости:

$10 = |10\pi \cos(\varphi_2)|$

Отсюда находим модуль косинуса фазы:

$|\cos(\varphi_2)| = \frac{10}{10\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0,3183$

Это означает, что $\cos(\varphi_2)$ может быть как положительным, так и отрицательным. Найдем наименьшее положительное значение фазы, взяв арккосинус от положительного значения.

$\varphi_2 = \arccos\left(\frac{1}{\pi}\right) \approx \arccos(0,3183) \approx 1,247$ рад

В пределах одного периода существуют еще три значения фазы, при которых модуль скорости будет таким же.

Ответ: $\varphi_2 \approx 1,25$ рад (или $\approx 71,5^\circ$).