Номер 1256, страница 236 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$A = 5,0 \text{ см}$

$B = 20\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

$A = 0,05 \text{ м}$
$B = 20\pi \text{ с}^{-1}$

Найти:

$v_{max}$ — ?

$a_{max}$ — ?

Решение:

Уравнение колебательного движения точки $x = A \sin(Bt)$ описывает гармонические колебания. В этом уравнении $A$ — это амплитуда колебаний, а $B$ — это циклическая (угловая) частота $\omega$.

Скорость точки $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени $t$:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \sin(Bt)) = A \cdot B \cos(Bt)$

Наибольшее значение модуля скорости (амплитуда скорости) $v_{max}$ достигается, когда $|\cos(Bt)| = 1$. Следовательно, максимальное значение модуля скорости равно:

$v_{max} = A \cdot B$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$v_{max} = 0,05 \text{ м} \cdot 20\pi \text{ с}^{-1} = \pi \text{ м/с}$

Вычислим приближенное значение, учитывая, что амплитуда $A$ дана с двумя значащими цифрами:

$v_{max} \approx 3,14 \text{ м/с} \approx 3,1 \text{ м/с}$

Ускорение точки $a(t)$ является первой производной от скорости $v(t)$ по времени $t$ (или второй производной от координаты):

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(A \cdot B \cos(Bt)) = -A \cdot B^2 \sin(Bt)$

Наибольшее значение модуля ускорения (амплитуда ускорения) $a_{max}$ достигается, когда $|\sin(Bt)| = 1$. Следовательно, максимальное значение модуля ускорения равно:

$a_{max} = A \cdot B^2$

Подставим числовые значения:

$a_{max} = 0,05 \text{ м} \cdot (20\pi \text{ с}^{-1})^2 = 0,05 \cdot 400\pi^2 \text{ м/с}^2 = 20\pi^2 \text{ м/с}^2$

Вычислим приближенное значение и округлим до двух значащих цифр:

$a_{max} \approx 20 \cdot (3,14159)^2 \text{ м/с}^2 \approx 197,4 \text{ м/с}^2 \approx 2,0 \cdot 10^2 \text{ м/с}^2 = 200 \text{ м/с}^2$

Ответ: наибольшее значение модуля скорости $v_{max} \approx 3,1 \text{ м/с}$; наибольшее значение модуля ускорения $a_{max} \approx 200 \text{ м/с}^2$.