Номер 1261, страница 237 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Амплитуда, $A = 500$ мкм

Частота, $\nu = 100$ Гц

Промежуток времени, $\Delta t = \frac{T}{4}$

Перевод в систему СИ:

$A = 500 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 5 \cdot 10^{-4}$ м

Найти:

1. Уравнение движения $x(t)$

2. Среднюю скорость $\langle v \rangle$

Решение:

1. Уравнение движения x(t)

Движение концов ножек камертона является гармоническим колебанием. Общее уравнение такого движения имеет вид:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $A$ - амплитуда, $\omega$ - циклическая (круговая) частота, а $\phi_0$ - начальная фаза колебаний. Так как в условии не заданы начальные условия (положение или скорость в момент $t=0$), мы можем выбрать начальную фазу для упрощения. Примем $\phi_0 = 0$, что соответствует началу движения из положения максимального отклонения.

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu$

Вычислим циклическую частоту:

$\omega = 2\pi \cdot 100 \text{ Гц} = 200\pi$ рад/с

Подставив значения амплитуды $A$ и циклической частоты $\omega$ в уравнение движения, получим:

$x(t) = 5 \cdot 10^{-4} \cos(200\pi t)$

Это уравнение описывает смещение конца ножки камертона от положения равновесия в метрах в зависимости от времени $t$ в секундах.

Ответ: Уравнение движения имеет вид $x(t) = 5 \cdot 10^{-4} \cos(200\pi t)$ (в СИ).

2. Средняя скорость $\langle v \rangle$ движения ножек за промежуток времени $\Delta t = \frac{T}{4}$

Средняя путевая скорость $\langle v \rangle$ определяется как отношение пройденного пути $S$ к промежутку времени $\Delta t$, за который этот путь был пройден:

$\langle v \rangle = \frac{S}{\Delta t}$

За время, равное четверти периода ($T/4$), тело, совершающее гармонические колебания, проходит путь, равный амплитуде $A$. Это соответствует перемещению из положения равновесия в крайнее положение (максимального отклонения) или наоборот.

Следовательно, пройденный путь $S = A = 5 \cdot 10^{-4}$ м.

Промежуток времени задан как $\Delta t = \frac{T}{4}$. Период колебаний $T$ обратно пропорционален частоте $\nu$:

$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{100 \text{ Гц}} = 0.01$ с

Теперь мы можем рассчитать среднюю скорость:

$\langle v \rangle = \frac{S}{\Delta t} = \frac{A}{T/4} = \frac{4A}{T}$

Также можно выразить среднюю скорость через частоту:

$\langle v \rangle = 4A\nu$

Подставим числовые значения:

$\langle v \rangle = 4 \cdot (5 \cdot 10^{-4} \text{ м}) \cdot 100 \text{ Гц} = 20 \cdot 10^{-4} \cdot 100 \text{ м/с} = 20 \cdot 10^{-2} \text{ м/с} = 0.2$ м/с

Ответ: Средняя скорость движения ножек за промежуток времени $\Delta t = T/4$ равна $0.2$ м/с.