Номер 1265, страница 237 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$x = A\sin(Bt)$

$A = 5,0$ м

$B = 2,0 \frac{рад}{с}$

$F = 5,0$ мН

$W_п = 0,10$ мДж

$F = 5,0 \times 10^{-3}$ Н
$W_п = 0,10 \times 10^{-3}$ Дж $= 1,0 \times 10^{-4}$ Дж

Найти:

$\phi$

Решение:

Фазой колебаний $\phi$ в данном уравнении является аргумент синуса: $\phi = Bt$.

Модуль силы упругости, действующей на тело со стороны пружины, определяется законом Гука:

$F = k|x|$

где $k$ – жесткость пружины, а $x$ – смещение тела от положения равновесия.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины равна:

$W_п = \frac{kx^2}{2}$

Мы можем связать эти два выражения. Выразим $W_п$ через $F$ и $|x|$:

$W_п = \frac{k|x| \cdot |x|}{2} = \frac{F|x|}{2}$

Отсюда можно найти модуль смещения тела от положения равновесия в рассматриваемый момент времени:

$|x| = \frac{2W_п}{F}$

Подставим числовые значения:

$|x| = \frac{2 \cdot 1,0 \times 10^{-4} \text{ Дж}}{5,0 \times 10^{-3} \text{ Н}} = \frac{2,0 \times 10^{-4}}{5,0 \times 10^{-3}}$ м $= 0,40 \times 10^{-1}$ м $= 0,040$ м.

Из уравнения колебаний $x = A\sin(Bt)$ следует, что $x = A\sin(\phi)$.

Тогда модуль синуса фазы колебаний равен:

$|\sin(\phi)| = \frac{|x|}{A}$

Подставим значения $|x|$ и $A$:

$|\sin(\phi)| = \frac{0,040 \text{ м}}{5,0 \text{ м}} = 0,0080$

Поскольку из условия задачи известен только модуль силы и потенциальная энергия (которые зависят от $|x|$ или $x^2$), мы не можем определить знак смещения $x$, а следовательно, и знак $\sin(\phi)$. Таким образом, фаза $\phi$ может принимать четыре значения в диапазоне от $0$ до $2\pi$. В таких случаях, если не указано иное, обычно находят наименьшее положительное значение фазы.

Найдем фазу $\phi$ (в радианах), соответствующую значению синуса 0,0080:

$\phi = \arcsin(0,0080)$

Для малых углов (в радианах) справедливо приближение $\sin(\phi) \approx \phi$, поэтому:

$\phi \approx 0,0080$ рад.

Ответ: $\phi = 0,0080$ рад.