Номер 1266, страница 237 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$W = 30 \text{ мкДж}$

$F_{\text{max}} = 1,5 \text{ мН}$

$\Delta t = 1,0 \text{ мин}$

$N = 30$

$\phi_0 = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:
$W = 30 \times 10^{-6} \text{ Дж}$
$F_{\text{max}} = 1,5 \times 10^{-3} \text{ Н}$
$\Delta t = 1,0 \times 60 \text{ с} = 60 \text{ с}$
$\phi_0 = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

$x(t)$

Решение:

Уравнение гармонических синусоидальных колебаний в общем виде записывается как:

$x(t) = A \sin(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая (угловая) частота, $\phi_0$ — начальная фаза. Для того чтобы записать уравнение, необходимо определить значения $A$ и $\omega$, так как начальная фаза $\phi_0$ уже дана.

1. Найдем циклическую частоту $\omega$.
Частота колебаний $\nu$ определяется как число полных колебаний $N$ за промежуток времени $\Delta t$:

$\nu = \frac{N}{\Delta t} = \frac{30}{60 \text{ с}} = 0,5 \text{ Гц}$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 0,5 \text{ Гц} = \pi \text{ рад/с}$

2. Найдем амплитуду колебаний $A$.
Полная энергия $W$ системы при гармонических колебаниях равна максимальной потенциальной энергии пружины:

$W = \frac{kA^2}{2}$

где $k$ — жесткость пружины.

Максимальная сила упругости $F_{\text{max}}$, действующая на груз, возникает при максимальном смещении от положения равновесия, то есть при $x = A$:

$F_{\text{max}} = kA$

Имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($k$ и $A$). Чтобы найти $A$, можно разделить первое уравнение на второе:

$\frac{W}{F_{\text{max}}} = \frac{kA^2/2}{kA} = \frac{A}{2}$

Отсюда выражаем амплитуду:

$A = \frac{2W}{F_{\text{max}}}$

Подставим числовые значения в СИ:

$A = \frac{2 \cdot 30 \times 10^{-6} \text{ Дж}}{1,5 \times 10^{-3} \text{ Н}} = \frac{60 \times 10^{-6}}{1,5 \times 10^{-3}} \text{ м} = 40 \times 10^{-3} \text{ м} = 0,04 \text{ м}$

3. Запишем итоговое уравнение колебаний.
Подставим найденные значения амплитуды $A = 0,04 \text{ м}$, циклической частоты $\omega = \pi \text{ рад/с}$ и начальной фазы $\phi_0 = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$ в общее уравнение гармонических колебаний:

$x(t) = 0,04 \sin(\pi t + \frac{\pi}{3})$

Ответ: $x(t) = 0,04 \sin(\pi t + \frac{\pi}{3})$.