Номер 1271, страница 238 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$\Delta l = 15 \text{ см}$

$N_1 = 7,0$

Один из маятников делает на одно колебание больше, чем другой, за то же время.

Перевод в СИ:

$\Delta l = 0,15 \text{ м}$

Найти:

$T_1, T_2$

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина нити, а $g$ – ускорение свободного падения ($g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$).

Из формулы следует, что маятник с большей длиной нити имеет больший период колебаний. Период также связан с числом колебаний $N$ за время $t$ соотношением $T = \frac{t}{N}$. Следовательно, за одно и то же время маятник с большим периодом совершит меньшее число колебаний.

Пусть $l_1$ и $T_1$ – длина и период маятника, который совершил $N_1=7,0$ колебаний. Второй маятник за то же время совершил $N_2 = N_1 + 1 = 8,0$ колебаний. Пусть его длина и период равны $l_2$ и $T_2$.

Поскольку $N_1 < N_2$, то $T_1 > T_2$, а значит и $l_1 > l_2$. По условию, разница длин составляет $\Delta l$, то есть:

$l_1 - l_2 = \Delta l$

Время, за которое были совершены колебания, для обоих маятников одинаково:

$t = N_1 T_1 = N_2 T_2$

$7,0 \cdot T_1 = 8,0 \cdot T_2$

Отсюда находим соотношение между периодами:

$T_1 = \frac{8}{7} T_2$

Выразим длины маятников из формулы периода:

$l_1 = \frac{g T_1^2}{4\pi^2}$

$l_2 = \frac{g T_2^2}{4\pi^2}$

Подставим эти выражения в формулу для разности длин:

$\frac{g T_1^2}{4\pi^2} - \frac{g T_2^2}{4\pi^2} = \Delta l$

$\frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 - T_2^2) = \Delta l$

Теперь подставим в это уравнение соотношение $T_1 = \frac{8}{7} T_2$:

$\frac{g}{4\pi^2}\left(\left(\frac{8}{7} T_2\right)^2 - T_2^2\right) = \Delta l$

$\frac{g}{4\pi^2}\left(\frac{64}{49} T_2^2 - T_2^2\right) = \Delta l$

$\frac{g T_2^2}{4\pi^2}\left(\frac{64}{49} - 1\right) = \Delta l$

$\frac{g T_2^2}{4\pi^2}\left(\frac{15}{49}\right) = \Delta l$

Выразим $T_2$ из этого уравнения:

$T_2^2 = \frac{\Delta l \cdot 49 \cdot 4\pi^2}{15 g}$

$T_2 = \sqrt{\frac{\Delta l \cdot 49 \cdot 4\pi^2}{15 g}} = 14\pi\sqrt{\frac{\Delta l}{15g}}$

Подставим числовые значения:

$T_2 = 14\pi\sqrt{\frac{0,15}{15 \cdot 9,8}} = 14\pi\sqrt{\frac{0,01}{9,8}} = 14\pi \frac{0,1}{\sqrt{9,8}} \approx \frac{1,4 \cdot 3,1416}{3,1305} \approx 1,405 \text{ с}$

Теперь найдем $T_1$:

$T_1 = \frac{8}{7} T_2 \approx \frac{8}{7} \cdot 1,405 \text{ с} \approx 1,606 \text{ с}$

Округляя до двух значащих цифр, как в условии ($N_1=7,0$, $\Delta l=15$):

Ответ: $T_1 \approx 1,6 \text{ с}$, $T_2 \approx 1,4 \text{ с}$.