Номер 1273, страница 238 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$M_З = k \cdot M_Л$, где $k = 81$

$R_З = n \cdot R_Л$, где $n = 3,7$

$M_З$, $M_Л$ – массы Земли и Луны соответственно.

$R_З$, $R_Л$ – радиусы Земли и Луны соответственно.

Найти:

$\frac{T_Л}{T_З}$ – отношение периода колебаний маятника на Луне к периоду колебаний на Земле.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

Для Земли и Луны периоды колебаний одного и того же маятника (длина $l$ одинакова) будут равны:

$T_З = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}$

$T_Л = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_Л}}$

Здесь $g_З$ и $g_Л$ – ускорения свободного падения на поверхности Земли и Луны соответственно.

Найдем отношение периодов:

$\frac{T_Л}{T_З} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_Л}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_З}}} = \sqrt{\frac{l/g_Л}{l/g_З}} = \sqrt{\frac{g_З}{g_Л}}$

Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела определяется законом всемирного тяготения:

$g = G\frac{M}{R^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса тела, $R$ – его радиус.

Тогда для Земли и Луны:

$g_З = G\frac{M_З}{R_З^2}$

$g_Л = G\frac{M_Л}{R_Л^2}$

Найдем отношение ускорений свободного падения:

$\frac{g_З}{g_Л} = \frac{G\frac{M_З}{R_З^2}}{G\frac{M_Л}{R_Л^2}} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot \frac{R_Л^2}{R_З^2} = \frac{M_З}{M_Л} \cdot (\frac{R_Л}{R_З})^2$

Из условия задачи мы знаем, что $M_З = k \cdot M_Л$ и $R_З = n \cdot R_Л$. Отсюда следует:

$\frac{M_З}{M_Л} = k = 81$

$\frac{R_Л}{R_З} = \frac{1}{n} = \frac{1}{3,7}$

Подставим эти соотношения в формулу для отношения ускорений:

$\frac{g_З}{g_Л} = k \cdot (\frac{1}{n})^2 = \frac{k}{n^2}$

Теперь подставим это выражение в формулу для отношения периодов:

$\frac{T_Л}{T_З} = \sqrt{\frac{k}{n^2}} = \frac{\sqrt{k}}{n}$

Выполним числовой расчет:

$\frac{T_Л}{T_З} = \frac{\sqrt{81}}{3,7} = \frac{9}{3,7} \approx 2,43$

Ответ: Период колебаний математического маятника на Луне примерно в 2,43 раза больше, чем на Земле.