Номер 1280, страница 239 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Ускорение при движении вверх: $a_1$

Ускорение при движении вниз: $a_2$

Время движения вверх: $t_1$

Время движения вниз: $t_2$

Длина маятника: $l$

Найти:

Общее число колебаний маятника: $N$

Решение:

Период колебаний математического маятника в инерциальной системе отсчета определяется формулой $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. В неинерциальной системе отсчета, связанной с движущимся с ускорением лифтом, на маятник действует сила инерции, что приводит к изменению эффективного ускорения свободного падения $g_{eff}$.

Общее число колебаний $N$ за все время движения будет суммой числа колебаний на первом этапе $N_1$ и на втором этапе $N_2$:

$N = N_1 + N_2$

Рассмотрим каждый этап движения отдельно.

1. Движение лифта вверх равноускоренно с ускорением $a_1$ в течение времени $t_1$.

Когда лифт движется вверх с ускорением $a_1$, в системе отсчета лифта на маятник действует сила инерции, направленная против ускорения, то есть вниз. Эта сила складывается с силой тяжести. Эффективное ускорение свободного падения $g_{eff1}$ становится равным:

$g_{eff1} = g + a_1$

Период колебаний маятника на этом этапе $T_1$ равен:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff1}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g + a_1}}$

Число колебаний $N_1$, которое совершит маятник за время $t_1$, равно:

$N_1 = \frac{t_1}{T_1} = \frac{t_1}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g + a_1}}} = \frac{t_1}{2\pi}\sqrt{\frac{g + a_1}{l}}$

2. Движение лифта вниз равнозамедленно с ускорением $a_2$ в течение времени $t_2$.

Равнозамедленное движение вниз означает, что вектор скорости направлен вниз, а вектор ускорения — вверх. Таким образом, лифт движется с ускорением $a_2$, направленным вертикально вверх. Сила инерции, действующая на маятник, снова будет направлена вниз. Эффективное ускорение свободного падения $g_{eff2}$ будет:

$g_{eff2} = g + a_2$

Период колебаний маятника на втором этапе $T_2$ равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff2}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g + a_2}}$

Число колебаний $N_2$ за время $t_2$ равно:

$N_2 = \frac{t_2}{T_2} = \frac{t_2}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g + a_2}}} = \frac{t_2}{2\pi}\sqrt{\frac{g + a_2}{l}}$

3. Общее число колебаний.

Сложим число колебаний на обоих этапах:

$N = N_1 + N_2 = \frac{t_1}{2\pi}\sqrt{\frac{g + a_1}{l}} + \frac{t_2}{2\pi}\sqrt{\frac{g + a_2}{l}}$

Вынося общий множитель, получаем окончательную формулу:

$N = \frac{1}{2\pi\sqrt{l}}(t_1\sqrt{g + a_1} + t_2\sqrt{g + a_2})$

Ответ:

Общее число колебаний, которые совершит маятник, равно $N = \frac{1}{2\pi\sqrt{l}}(t_1\sqrt{g + a_1} + t_2\sqrt{g + a_2})$.