Номер 1284, страница 240 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Гармонические колебания математического маятника.

Амплитуда колебаний: $A$.

Циклическая частота: $\omega$.

Скорость в начальный момент времени $t=0$: $\vec{v_0}$.

Максимальная скорость: $\vec{v_{max}}$.

Условие: $\vec{v_0}$ меньше $\vec{v_{max}}$.

Найти:

Начальную фазу $\phi_0$.

Решение:

Уравнение гармонических колебаний для смещения $x$ маятника от положения равновесия можно записать в виде:

$x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$

где $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота, $t$ — время, а $\phi_0$ — искомая начальная фаза.

Скорость маятника $v(t)$ является производной от смещения по времени:

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Максимальное значение модуля скорости (максимальная скорость) $v_{max}$ достигается, когда маятник проходит положение равновесия, и равно:

$v_{max} = A\omega$

Рассмотрим начальный момент времени $t=0$. В этот момент смещение и скорость равны:

$x_0 = x(0) = A \cos(\phi_0)$

$v_0 = v(0) = -A\omega \sin(\phi_0)$

Условие, данное в задаче, гласит, что "скорость $\vec{v_0}$ меньше максимальной скорости $\vec{v_{max}}$". Сравнение векторов с помощью оператора "меньше" математически не определено. Наиболее вероятная трактовка этого условия — сравнение их модулей (скалярных скоростей):

$|v_0| < v_{max}$

Подставим в это неравенство выражение для $v_0$ и $v_{max}$:

$|-A\omega \sin(\phi_0)| < A\omega$

Упростив, получаем:

$A\omega |\sin(\phi_0)| < A\omega$

$|\sin(\phi_0)| < 1$

Это неравенство справедливо для любого значения фазы $\phi_0$, за исключением тех случаев, когда $|\sin(\phi_0)| = 1$. Равенство $|\sin(\phi_0)| = 1$ достигается при $\phi_0 = \pi/2 + n\pi$ (где $n$ — целое число). В этих точках $\cos(\phi_0) = 0$, что соответствует начальному смещению $x_0 = A \cos(\phi_0) = 0$.

Таким образом, условие, приведенное в задаче, означает лишь, что в начальный момент времени маятник не находится в положении равновесия ($x_0 \neq 0$). Этого условия недостаточно для однозначного определения начальной фазы $\phi_0$. Начальная фаза может принимать любое значение, кроме $\pi/2 + n\pi$.

Для нахождения конкретного значения $\phi_0$ требуется дополнительная информация о начальном состоянии системы (например, точное значение $x_0$ или $v_0$). В общем виде, начальная фаза может быть выражена через начальные условия, амплитуду и частоту следующим образом:

$\cos(\phi_0) = \frac{x_0}{A}$

$\sin(\phi_0) = -\frac{v_0}{A\omega}$

Из этих соотношений можно найти фазу, например, как:

$\phi_0 = \arccos\left(\frac{x_0}{A}\right)$ (с учетом знака $v_0$ для выбора правильного решения из двух возможных)

или

$\phi_0 = \arcsin\left(-\frac{v_0}{A\omega}\right)$ (с учетом знака $x_0$ для выбора правильного решения из двух возможных)

Ответ:

На основании условия, приведенного в задаче, однозначно определить начальную фазу $\phi_0$ невозможно. Условие "скорость $\vec{v_0}$ меньше максимальной скорости $\vec{v_{max}}$", трактуемое как $|v_0| < v_{max}$, означает лишь, что маятник в начальный момент времени не находится в положении равновесия. Это соответствует любой начальной фазе $\phi_0$, кроме значений $\phi_0 = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — любое целое число. Для нахождения точного значения $\phi_0$ необходимо знать либо начальное смещение $x_0$, либо начальную скорость $v_0$. Общие формулы, связывающие фазу с начальными условиями, амплитудой $A$ и циклической частотой $\omega$: $\cos(\phi_0) = x_0/A$ и $\sin(\phi_0) = -v_0/(A\omega)$.