Номер 1282, страница 240 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l = 1,0 \, \text{м}$

$s = 0,10 \, \text{км}$

$v_1 = 18 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$v_2 = 72 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Перевод в систему СИ:

$s = 0,10 \, \text{км} = 100 \, \text{м}$

$v_1 = 18 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{18 \cdot 1000}{3600} \, \frac{\text{м}}{\text{с}} = 5 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$v_2 = 72 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{72 \cdot 1000}{3600} \, \frac{\text{м}}{\text{с}} = 20 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$T$

Решение:

Маятник находится в неинерциальной системе отсчета (вагоне), которая движется с постоянным горизонтальным ускорением $a$. В этой системе на тело маятника действует сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}$, направленная против ускорения вагона. Результирующая сила, определяющая положение равновесия и колебания, является векторной суммой силы тяжести $m\vec{g}$ и силы инерции.

Таким образом, роль ускорения свободного падения выполняет эффективное ускорение $g_{eff}$. Так как векторы $\vec{g}$ (направлен вертикально вниз) и $\vec{a}$ (направлен горизонтально) взаимно перпендикулярны, модуль эффективного ускорения можно найти по теореме Пифагора:

$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$

Период малых колебаний маятника в этом случае определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + a^2}}}$

Для нахождения периода необходимо сначала вычислить ускорение вагона $a$. Поскольку движение равноускоренное, воспользуемся формулой, связывающей путь, скорости и ускорение:

$s = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}$

Отсюда выражаем ускорение:

$a = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2s}$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$a = \frac{(20 \, \text{м/с})^2 - (5 \, \text{м/с})^2}{2 \cdot 100 \, \text{м}} = \frac{400 - 25}{200} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{375}{200} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1,875 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Теперь вычислим эффективное ускорение $g_{eff}$, приняв $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$:

$g_{eff} = \sqrt{(9,8 \, \text{м/с}^2)^2 + (1,875 \, \text{м/с}^2)^2} = \sqrt{96,04 + 3,515625} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \sqrt{99,555625} \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 9,98 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Наконец, рассчитаем период колебаний $T$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} \approx 2 \cdot 3,14 \cdot \sqrt{\frac{1,0 \, \text{м}}{9,98 \, \text{м/с}^2}} \approx 6,28 \cdot \sqrt{0,1002} \, \text{с} \approx 6,28 \cdot 0,3165 \, \text{с} \approx 1,99 \, \text{с}$

Учитывая, что исходные данные имеют две значащие цифры, округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $T \approx 2,0 \, \text{с}$.