Номер 1283, страница 240 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина маятника: $l$

Расстояние от точки подвеса до гвоздя: $s = \frac{l}{2}$

Найти:

Период колебаний маятника: $T$

Решение:

Полный период колебаний $T$ данного маятника складывается из двух полупериодов колебаний маятников с разными длинами.

Когда маятник отклоняется в одну сторону (где нет гвоздя), он совершает половину колебания как обычный математический маятник с длиной нити $l$. Время этого полуколебания равно половине периода $T_1$:

$\frac{T_1}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = \pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

Когда маятник движется в другую сторону, после прохождения положения равновесия его нить упирается в гвоздь. Новой точкой подвеса становится гвоздь, а эффективная длина маятника уменьшается и становится равной $l' = l - s = l - \frac{l}{2} = \frac{l}{2}$.

Вторую половину колебания маятник совершает с длиной нити $l'$. Время этого полуколебания равно половине периода $T_2$:

$\frac{T_2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{l'}{g}} = \pi\sqrt{\frac{l/2}{g}} = \pi\sqrt{\frac{l}{2g}}$

Полный период колебаний $T$ равен сумме этих двух полупериодов:

$T = \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{2} = \pi\sqrt{\frac{l}{g}} + \pi\sqrt{\frac{l}{2g}}$

Вынесем общий множитель за скобки для упрощения выражения:

$T = \pi\sqrt{\frac{l}{g}} \left( 1 + \sqrt{\frac{1}{2}} \right) = \pi\sqrt{\frac{l}{g}} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

Это выражение также можно записать в виде:

$T = \pi\sqrt{\frac{l}{g}} \left( \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}} \right)$

Ответ: $T = \pi\sqrt{\frac{l}{g}} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$.