Номер 1289, страница 241 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Математический маятник

Масса: $m$

Длина: $l$

Тип движения: гармонические колебания

Промежуток времени: $\Delta t = T$ (период колебаний)

Начальное положение: положение равновесия

Найти:

Работу возвращающей силы $A$

Решение:

Работу силы можно определить как через интеграл по траектории, так и через изменение энергии системы. Рассмотрим решение задачи с точки зрения энергетических превращений, так как это наиболее простой подход.

Способ 1: Использование понятия консервативной силы и потенциальной энергии.

Возвращающая сила, действующая на математический маятник, является тангенциальной составляющей силы тяжести. Сила тяжести — консервативная сила, следовательно, и ее составляющая, возвращающая сила, также является консервативной. Работа консервативной силы равна изменению потенциальной энергии системы, взятому с противоположным знаком:

$A = -\Delta U = -(U_{кон} - U_{нач})$

где $U_{нач}$ и $U_{кон}$ — потенциальная энергия маятника в начальном и конечном состояниях соответственно.

По условию задачи, движение рассматривается в течение одного полного периода колебаний $T$, начиная с момента прохождения положения равновесия. За время, равное периоду, любая колебательная система возвращается в свое первоначальное состояние. Это означает, что через время $T$ маятник вернется в положение равновесия, имея ту же скорость и направление движения, что и в начале.

Поскольку начальное и конечное положения маятника совпадают (оба — положение равновесия), то его потенциальная энергия в начале и в конце рассматриваемого промежутка времени одинакова: $U_{нач} = U_{кон}$.

Следовательно, изменение потенциальной энергии за один период равно нулю:

$\Delta U = U_{кон} - U_{нач} = 0$

Тогда работа возвращающей силы за полный период колебаний также равна нулю:

$A = -0 = 0$

Способ 2: Использование теоремы о кинетической энергии.

Согласно теореме о кинетической энергии, работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии:

$A_{всех~сил} = \Delta E_k = E_{k~кон} - E_{k~нач}$

На шарик маятника действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити. Сила натяжения нити всегда перпендикулярна вектору скорости, поэтому ее работа равна нулю. Таким образом, работа всех сил равна работе силы тяжести. Возвращающая сила — это компонента силы тяжести, которая и совершает работу по изменению скорости. Следовательно, работа возвращающей силы равна работе всех сил, действующих на маятник.

В начальный момент времени ($t=0$) маятник находится в положении равновесия, где его скорость максимальна. Кинетическая энергия в этот момент $E_{k~нач} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.

Через один период ($t=T$) маятник вернется в положение равновесия, двигаясь в том же направлении. Его скорость снова будет равна $v_{max}$. Конечная кинетическая энергия будет $E_{k~кон} = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.

Изменение кинетической энергии за период равно:

$\Delta E_k = E_{k~кон} - E_{k~нач} = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - \frac{1}{2}mv_{max}^2 = 0$

Следовательно, работа возвращающей силы за период также равна нулю:

$A = \Delta E_k = 0$

Оба метода показывают, что работа возвращающей силы за полный период колебаний равна нулю. Это справедливо для любой консервативной силы на любом замкнутом пути.

Ответ: Работа, совершаемая возвращающей силой за промежуток времени, равный периоду колебаний, равна нулю ($A=0$).