Номер 1291, страница 241 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

$l_1 = 1,0$ м

$l_2 = 0,25$ м

$\Delta t = 4,0$ с

Найти:

$n$

Решение

Два шарика, подвешенных на нитях, представляют собой два математических маятника. Поскольку в условии сказано, что отклонение было на небольшой угол, мы можем использовать формулу для периода малых колебаний математического маятника:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – длина нити, а $g$ – ускорение свободного падения.

Найдем периоды колебаний для каждого маятника. Для упрощения расчетов, характерного для таких задач, можно принять $g \approx \pi^2 \approx 9,87$ м/с².

Период колебаний первого шарика (с нитью длиной $l_1$):

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1,0 \text{ м}}{\pi^2 \text{ м/с}^2}} = 2\pi \cdot \frac{1}{\pi} \text{ с} = 2,0$ с.

Период колебаний второго шарика (с нитью длиной $l_2$):

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{0,25 \text{ м}}{\pi^2 \text{ м/с}^2}} = 2\pi \cdot \frac{0,5}{\pi} \text{ с} = 1,0$ с.

Таким образом, период колебаний первого маятника в два раза больше периода второго: $T_1 = 2T_2$.

Проследим за движением шариков и моментами их столкновений. В начальный момент времени ($t=0$) второй шарик отклоняют и отпускают. Первый шарик находится в положении равновесия.

1. Первое столкновение. Второй шарик, начав движение из крайнего положения, достигнет положения равновесия (где находится первый шарик) за время, равное четверти его периода колебаний:

$t_1 = \frac{T_2}{4} = \frac{1,0 \text{ с}}{4} = 0,25$ с.

Поскольку шарики одинаковые, а столкновение упругое, они обмениваются скоростями. Второй шарик останавливается в положении равновесия, а первый начинает движение с той же скоростью, которую имел второй. Это первое столкновение ($n=1$).

2. Второе столкновение. Теперь колеблется первый шарик. Он совершит половину полного колебания (отклонится в сторону и вернется в положение равновесия) за время, равное половине его периода $\frac{T_1}{2}$. Второе столкновение произойдет в момент времени:

$t_2 = t_1 + \frac{T_1}{2} = 0,25 \text{ с} + \frac{2,0 \text{ с}}{2} = 0,25 \text{ с} + 1,0 \text{ с} = 1,25$ с.

Произойдет второе столкновение ($n=2$), и шарики снова обменяются скоростями: первый остановится, а второй начнет движение.

3. Третье столкновение. Теперь колеблется второй шарик. Он совершит половину своего колебания за время $\frac{T_2}{2}$ и вернется для столкновения в момент:

$t_3 = t_2 + \frac{T_2}{2} = 1,25 \text{ с} + \frac{1,0 \text{ с}}{2} = 1,25 \text{ с} + 0,5 \text{ с} = 1,75$ с.

Это третье столкновение ($n=3$).

4. Четвертое столкновение. После обмена скоростями движется первый шарик. Время до следующего столкновения снова будет $\frac{T_1}{2}$. Момент столкновения:

$t_4 = t_3 + \frac{T_1}{2} = 1,75 \text{ с} + \frac{2,0 \text{ с}}{2} = 1,75 \text{ с} + 1,0 \text{ с} = 2,75$ с.

Это четвертое столкновение ($n=4$).

5. Пятое столкновение. Теперь снова движется второй шарик. Время до следующего столкновения $\frac{T_2}{2}$. Момент столкновения:

$t_5 = t_4 + \frac{T_2}{2} = 2,75 \text{ с} + \frac{1,0 \text{ с}}{2} = 2,75 \text{ с} + 0,5 \text{ с} = 3,25$ с.

Это пятое столкновение ($n=5$).

Проверим, произойдет ли следующее столкновение в заданном интервале времени. После пятого столкновения движется первый шарик, и он вернется в положение равновесия через $\frac{T_1}{2}$:

$t_6 = t_5 + \frac{T_1}{2} = 3,25 \text{ с} + \frac{2,0 \text{ с}}{2} = 3,25 \text{ с} + 1,0 \text{ с} = 4,25$ с.

Поскольку $t_6 = 4,25 \text{ с} > \Delta t = 4,0$ с, шестое столкновение не успеет произойти.

Таким образом, за промежуток времени $\Delta t = 4,0$ с шарики столкнутся 5 раз.

Ответ: 5 раз.