Номер 1290, страница 241 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 0,55 \frac{км}{с}$

$n = 1,0 \cdot 10^3$

$l = 1,0 \ м$

$m_ш = n \cdot m_п$, где $m_п$ - масса пули, $m_ш$ - масса шара.

Перевод в систему СИ:
$v = 0,55 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 550 \frac{м}{с}$
$n = 1000$

Найти:

$А$

Решение:

Процесс можно разделить на два этапа: абсолютно неупругое столкновение пули с шаром и последующие колебания системы "шар с пулей" на стержне.

1. Абсолютно неупругое столкновение.
В момент столкновения для системы "пуля-шар" выполняется закон сохранения импульса. Пусть $m_п$ — масса пули, $m_ш$ — масса шара, $v$ — скорость пули до столкновения, и $u$ — скорость шара с застрявшей в нем пулей сразу после столкновения.

Импульс системы до столкновения: $p_1 = m_п v$.
Импульс системы после столкновения: $p_2 = (m_п + m_ш) u$.

Согласно закону сохранения импульса, $p_1 = p_2$:
$m_п v = (m_п + m_ш) u$.

Выразим скорость $u$ после столкновения. Учитывая, что $m_ш = n \cdot m_п$: $u = \frac{m_п v}{m_п + m_ш} = \frac{m_п v}{m_п + n \cdot m_п} = \frac{m_п v}{m_п(1 + n)} = \frac{v}{1 + n}$.

2. Колебания и закон сохранения энергии.
Сразу после столкновения система "шар с пулей" обладает максимальной кинетической энергией (в положении равновесия), которая при отклонении на максимальный угол переходит в потенциальную энергию.

Кинетическая энергия системы в нижней точке: $E_к = \frac{(m_п + m_ш) u^2}{2}$.
Потенциальная энергия в точке максимального подъема на высоту $h_{max}$: $E_п = (m_п + m_ш) g h_{max}$.

По закону сохранения механической энергии, $E_к = E_п$:
$\frac{(m_п + m_ш) u^2}{2} = (m_п + m_ш) g h_{max}$.

Сократив массу $(m_п + m_ш)$, получим: $\frac{u^2}{2} = g h_{max}$.

Отсюда найдем максимальную высоту подъема: $h_{max} = \frac{u^2}{2g} = \frac{1}{2g} \left( \frac{v}{1+n} \right)^2 = \frac{v^2}{2g(1+n)^2}$.

3. Геометрический расчет амплитуды.
Амплитуда $A$ — это максимальное горизонтальное смещение шара от положения равновесия. Она связана с высотой подъема $h_{max}$ и длиной стержня $l$ через теорему Пифагора. В крайнем положении отклонения, стержень образует гипотенузу $l$, а катетами являются горизонтальное смещение $A$ и вертикальное расстояние от точки подвеса до шара $(l - h_{max})$.

$l^2 = A^2 + (l - h_{max})^2$
$l^2 = A^2 + l^2 - 2lh_{max} + h_{max}^2$
$A^2 = 2lh_{max} - h_{max}^2$
$A = \sqrt{2lh_{max} - h_{max}^2}$.

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \frac{м}{с^2}$.
Сначала вычислим высоту $h_{max}$:
$h_{max} = \frac{(550 \frac{м}{с})^2}{2 \cdot 9,8 \frac{м}{с^2} \cdot (1+1000)^2} = \frac{302500}{19,6 \cdot 1001^2} \approx \frac{302500}{19,6 \cdot 1002001} \approx 0,0154 \ м$.

Теперь вычислим амплитуду $A$:
$A = \sqrt{2 \cdot 1,0 \ м \cdot 0,0154 \ м - (0,0154 \ м)^2} = \sqrt{0,0308 - 0,000237} = \sqrt{0,030563} \approx 0,1748 \ м$.

Округлим результат до двух значащих цифр, в соответствии с точностью исходных данных: $A \approx 0,17 \ м$.

Ответ: амплитуда колебаний стержня с шаром составляет приблизительно $0,17 \ м$.