Номер 1287, страница 240 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 10$ г

$T_0 = 1,0$ с

$E = 0,15$ кВ/м

$T = 0,60$ с

Заряд шарика отрицательный ($q < 0$)

Перевод в систему СИ:

$m = 10 \text{ г} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,01 \text{ кг}$

$E = 0,15 \frac{\text{кВ}}{\text{м}} = 0,15 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 150 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Найти:

$q$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника (шарика на длинной нити) в отсутствие внешних полей определяется формулой:
$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ (1)
где $l$ – длина нити, а $g$ – ускорение свободного падения ($g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$).

Когда заряженный шарик помещают в вертикальное электростатическое поле, на него кроме силы тяжести $F_т = mg$ (направлена вниз) начинает действовать электрическая сила $F_э = qE$.

По условию, период колебаний уменьшился ($T < T_0$). Формула периода зависит от эффективного ускорения $g_{эфф}$ как $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}}$. Уменьшение периода означает увеличение эффективного ускорения, то есть $g_{эфф} > g$. Это возможно, если электрическая сила $F_э$ сонаправлена с силой тяжести, то есть направлена вертикально вниз.

Заряд шарика отрицательный ($q < 0$). Электрическая сила, действующая на отрицательный заряд, направлена противоположно вектору напряженности электрического поля $\vec{E}$. Так как сила $\vec{F_э}$ направлена вниз, то поле $\vec{E}$ должно быть направлено вертикально вверх.

В этом случае результирующая сила, действующая на шарик в вертикальном направлении, равна сумме модулей силы тяжести и электрической силы:
$F_{полн} = F_т + F_э = mg + |q|E$

Тогда эффективное ускорение свободного падения равно:
$g_{эфф} = \frac{F_{полн}}{m} = \frac{mg + |q|E}{m} = g + \frac{|q|E}{m}$

Новый период колебаний будет:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g + \frac{|q|E}{m}}}$ (2)

Для нахождения заряда $|q|$ разделим уравнение (1) на уравнение (2):
$\frac{T_0}{T} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{эфф}}}} = \sqrt{\frac{g_{эфф}}{g}}$

Возведем обе части в квадрат и подставим выражение для $g_{эфф}$:
$\left(\frac{T_0}{T}\right)^2 = \frac{g_{эфф}}{g} = \frac{g + \frac{|q|E}{m}}{g} = 1 + \frac{|q|E}{mg}$

Выразим отсюда модуль заряда $|q|$:
$\frac{|q|E}{mg} = \left(\frac{T_0}{T}\right)^2 - 1$
$|q| = \frac{mg}{E}\left(\left(\frac{T_0}{T}\right)^2 - 1\right)$

Подставим числовые значения:
$|q| = \frac{0,01 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{150 \frac{\text{В}}{\text{м}}}\left(\left(\frac{1,0 \text{ с}}{0,60 \text{ с}}\right)^2 - 1\right) = \frac{0,098}{150}\left(\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1\right)$
$|q| = \frac{0,098}{150}\left(\frac{25}{9} - 1\right) = \frac{0,098}{150}\left(\frac{16}{9}\right) = \frac{1,568}{1350} \approx 1,16 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

Так как по условию заряд шарика отрицательный, то $q = -|q|$. Округляя до двух значащих цифр (как в исходных данных), получаем:
$q \approx -1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$

Ответ: $q \approx -1,2 \cdot 10^{-3} \text{ Кл}$ (или $-1200$ мкКл).