Номер 1285, страница 240 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Начальная длина нити: $l_1$
Конечная длина нити: $l_2$
Начальная амплитуда: $A_1$
Конечная амплитуда: $A_2$
Энергия маятника постоянна: $E_1 = E_2 = E$

Найти:

Отношение $n = \frac{A_2}{A_1}$

Решение:

Полная механическая энергия математического маятника, совершающего гармонические колебания, остается постоянной (в отсутствие сил трения). По условию, эта энергия не изменяется при укорачивании нити. Полная энергия равна максимальной потенциальной энергии, которую маятник достигает в крайних точках траектории, где его скорость равна нулю.

Потенциальная энергия маятника массой $m$ в поле тяжести определяется высотой подъема $h$ над положением равновесия: $U = mgh$. В точке максимального отклонения на угол $\alpha_{max}$ высота подъема равна $h = l(1 - \cos\alpha_{max})$, где $l$ - длина нити.

Следовательно, полная энергия маятника:
$E = U_{max} = mgl(1 - \cos\alpha_{max})$

Для гармонических колебаний угол отклонения $\alpha_{max}$ мал. Для малых углов справедливо приближение: $\cos\alpha_{max} \approx 1 - \frac{\alpha_{max}^2}{2}$.
Подставим это в формулу для энергии:
$E \approx mgl\left(1 - \left(1 - \frac{\alpha_{max}^2}{2}\right)\right) = mgl\frac{\alpha_{max}^2}{2}$

Линейная амплитуда $A$ (максимальное смещение по дуге) связана с угловой амплитудой $\alpha_{max}$ (в радианах) соотношением $A = l\alpha_{max}$. Отсюда $\alpha_{max} = \frac{A}{l}$.

Выразим энергию через линейную амплитуду $A$:
$E = mgl\frac{1}{2}\left(\frac{A}{l}\right)^2 = mgl\frac{A^2}{2l^2} = \frac{mgA^2}{2l}$

Запишем выражения для энергии до и после укорачивания нити:
Начальная энергия (при длине $l_1$ и амплитуде $A_1$): $E_1 = \frac{mgA_1^2}{2l_1}$
Конечная энергия (при длине $l_2$ и амплитуде $A_2$): $E_2 = \frac{mgA_2^2}{2l_2}$

Согласно условию задачи, энергия не изменилась, т.е. $E_1 = E_2$:
$\frac{mgA_1^2}{2l_1} = \frac{mgA_2^2}{2l_2}$

Сократим одинаковые множители $\frac{mg}{2}$ в обеих частях уравнения:
$\frac{A_1^2}{l_1} = \frac{A_2^2}{l_2}$

Из этого соотношения выразим искомое отношение амплитуд $\frac{A_2}{A_1}$:
$\frac{A_2^2}{A_1^2} = \frac{l_2}{l_1}$
$\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$

Таким образом, отношение, показывающее, во сколько раз изменится амплитуда, равно $n = \frac{A_2}{A_1}$.

Ответ: Амплитуда колебаний изменится в $n = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ раз.