Номер 1278, страница 239 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$T_0 = 1,0$ с (период колебаний на поверхности Земли)

$h = 0,20$ км (высота подъема)

$t_{сутки} = 24$ часа (промежуток времени)

Радиус Земли $R_З \approx 6400$ км (справочное значение)

Перевод в систему СИ:

$h = 0,20 \cdot 10^3$ м $= 200$ м

$t_{сутки} = 24 \cdot 3600$ с $= 86400$ с

$R_З = 6400 \cdot 10^3$ м $= 6,4 \cdot 10^6$ м

Найти:

$\Delta t$ — отставание часов за сутки.

Решение:

Период колебаний маятниковых часов определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина маятника, а $g$ — ускорение свободного падения. Как видно из формулы, период обратно пропорционален корню из $g$.

Ускорение свободного падения зависит от высоты над поверхностью Земли. На поверхности Земли (на расстоянии $R_З$ от центра) оно равно:

$g_0 = G\frac{M}{R_З^2}$

На высоте $h$ над поверхностью (на расстоянии $R_З + h$ от центра) оно будет меньше:

$g_h = G\frac{M}{(R_З+h)^2}$

Следовательно, период колебаний на высоте $h$ ($T_h$) будет больше, чем период на поверхности ($T_0$), так как $g_h < g_0$. Найдем отношение периодов:

$\frac{T_h}{T_0} = \frac{2\pi\sqrt{l/g_h}}{2\pi\sqrt{l/g_0}} = \sqrt{\frac{g_0}{g_h}} = \sqrt{\frac{G M / R_З^2}{G M / (R_З+h)^2}} = \sqrt{\frac{(R_З+h)^2}{R_З^2}} = \frac{R_З+h}{R_З} = 1 + \frac{h}{R_З}$

Увеличение периода означает, что часы будут идти медленнее и отставать.

За реальное время $t_{сутки}$ часы на высоте совершат $N_h = t_{сутки} / T_h$ колебаний. Время, которое покажут эти часы ($t_{показанное}$), рассчитывается по их "эталонному" периоду $T_0$:

$t_{показанное} = N_h \cdot T_0 = \frac{t_{сутки}}{T_h} \cdot T_0 = t_{сутки} \frac{T_0}{T_h}$

Отставание часов $\Delta t$ — это разница между реальным прошедшим временем и временем, которое показывают часы:

$\Delta t = t_{сутки} - t_{показанное} = t_{сутки} - t_{сутки} \frac{T_0}{T_h} = t_{сутки} \left(1 - \frac{T_0}{T_h}\right)$

Из соотношения периодов имеем $\frac{T_0}{T_h} = \frac{1}{1 + h/R_З}$. Подставим это в формулу для отставания:

$\Delta t = t_{сутки} \left(1 - \frac{1}{1 + h/R_З}\right) = t_{сутки} \left(\frac{1 + h/R_З - 1}{1 + h/R_З}\right) = t_{сутки} \frac{h/R_З}{1 + h/R_З}$

Так как высота подъема много меньше радиуса Земли ($h \ll R_З$), то $h/R_З$ — очень малая величина, и знаменателем $1 + h/R_З \approx 1$ можно пренебречь. Формула для расчета отставания упрощается:

$\Delta t \approx t_{сутки} \frac{h}{R_З}$

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:

$\Delta t \approx 86400 \text{ с} \cdot \frac{200 \text{ м}}{6,4 \cdot 10^6 \text{ м}} = 86400 \cdot \frac{2}{64000} = \frac{86400}{32000} = \frac{864}{320} = 2,7 \text{ с}$

Таким образом, за сутки часы отстанут на 2,7 секунды. Исходное значение периода $T_0=1,0$ с не требуется для решения, так как отставание зависит только от относительного изменения периода.

Ответ:

Отставание часов за сутки составит $\Delta t = 2,7$ с.