Номер 1275, страница 239 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Угол наклона плоскости: $\alpha$

Ускорение тележки: $\vec{a}$ (модуль $a = |\vec{a}|$)

Длина маятника: $l$

Найти:

Период малых собственных колебаний маятника: $T$

Решение:

Рассмотрим движение маятника в неинерциальной системе отсчета, связанной с тележкой. В этой системе на груз маятника массой $m$ действует сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}$ в дополнение к силе тяжести $m\vec{g}$ и силе натяжения нити.

Равновесие и колебания маятника определяются эффективной силой тяжести, которая является векторной суммой силы тяжести и силы инерции: $m\vec{g}_{eff} = m\vec{g} + \vec{F}_{ин} = m\vec{g} - m\vec{a}$.

Таким образом, эффективное ускорение свободного падения равно $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$.

Период малых колебаний математического маятника в поле с ускорением $g_{eff}$ определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$

где $g_{eff} = |\vec{g}_{eff}| = |\vec{g} - \vec{a}|$ — модуль эффективного ускорения.

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{g}_{eff}$ через скалярное произведение:

$g_{eff}^2 = (\vec{g} - \vec{a}) \cdot (\vec{g} - \vec{a}) = \vec{g} \cdot \vec{g} - 2\vec{g} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{a} = g^2 + a^2 - 2\vec{g} \cdot \vec{a}$

Здесь $g$ и $a$ — модули соответствующих векторов.

Вектор ускорения тележки $\vec{a}$ направлен вдоль наклонной плоскости. Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ направлен вертикально вниз. Будем считать, что ускорение $\vec{a}$ направлено вниз по наклонной плоскости. В этом случае угол между векторами $\vec{g}$ и $\vec{a}$ составляет $90^\circ - \alpha$.

Тогда скалярное произведение векторов $\vec{g}$ и $\vec{a}$ равно:

$\vec{g} \cdot \vec{a} = |\vec{g}| \cdot |\vec{a}| \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = ga \sin\alpha$.

Подставим это выражение в формулу для $g_{eff}^2$:

$g_{eff}^2 = g^2 + a^2 - 2ga \sin\alpha$.

Следовательно, модуль эффективного ускорения:

$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2 - 2ga \sin\alpha}$.

Подставляя $g_{eff}$ в формулу для периода, получаем окончательный результат:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + a^2 - 2ga \sin\alpha}}}$.

Ответ:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + a^2 - 2ga \sin\alpha}}}$.