Номер 1270, страница 238 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$T_1 = 3,0$ с

$T_2 = 4,0$ с

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле Гюйгенса:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ – это длина маятника, а $g$ – ускорение свободного падения.

Чтобы найти связь между длиной маятника и его периодом, выразим $l$ из этой формулы. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 \frac{l}{g} = 4\pi^2 \frac{l}{g}$

Отсюда длина маятника $l$ равна:

$l = \frac{g T^2}{4\pi^2}$

Используя эту зависимость, найдем длины первого ($l_1$) и второго ($l_2$) маятников:

$l_1 = \frac{g T_1^2}{4\pi^2}$

$l_2 = \frac{g T_2^2}{4\pi^2}$

По условию задачи, длина нового (третьего) маятника $l$ равна сумме длин первых двух:

$l = l_1 + l_2$

Подставим выражения для $l_1$ и $l_2$:

$l = \frac{g T_1^2}{4\pi^2} + \frac{g T_2^2}{4\pi^2} = \frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)$

Теперь мы можем найти период $T$ нового маятника, подставив полученное выражение для его длины $l$ обратно в формулу периода:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{g}{4\pi^2}(T_1^2 + T_2^2)}{g}}$

Упростим выражение. Ускорение свободного падения $g$ в числителе и знаменателе подкоренного выражения сокращается:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{T_1^2 + T_2^2}{4\pi^2}}$

Вынесем $4\pi^2$ из-под знака корня:

$T = 2\pi \frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{\sqrt{4\pi^2}} = 2\pi \frac{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}}{2\pi}$

Сократив $2\pi$, получаем итоговую расчетную формулу:

$T = \sqrt{T_1^2 + T_2^2}$

Подставим в эту формулу числовые значения из условия задачи:

$T = \sqrt{(3,0 \text{ с})^2 + (4,0 \text{ с})^2} = \sqrt{9,0 \text{ с}^2 + 16,0 \text{ с}^2} = \sqrt{25,0 \text{ с}^2} = 5,0 \text{ с}$

Ответ: 5,0 с.