Номер 1264, страница 237 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса груза, $m = 10$ г

Уравнение колебаний, $x = A\sin(Bt+C)$

Амплитуда, $A = 5,0$ см

Параметр $B = \frac{\pi}{5}$ рад/с

Параметр $C = \frac{\pi}{4}$ рад

Перевод в систему СИ:

$m = 10 \text{ г} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0,01 \text{ кг}$

$A = 5,0 \text{ см} = 5,0 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,05 \text{ м}$

Найти:

$F_{max}$ — ?

$W$ — ?

Решение:

Заданное уравнение колебаний $x = A \sin(Bt + C)$ является частным случаем общего уравнения гармонических колебаний $x(t) = A_{m} \sin(\omega t + \phi_{0})$, где $A_{m}$ — амплитуда, а $\omega$ — циклическая (угловая) частота.

Сравнивая эти два уравнения, определяем параметры движения нашей системы:

Амплитуда: $A_{m} = A = 0,05$ м.

Циклическая частота: $\omega = B = \frac{\pi}{5}$ рад/с.

Модуль максимальной силы $F_{max}$

Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на груз, равна $F = ma$. При гармонических колебаниях ускорение $a$ связано с координатой $x$ соотношением $a(t) = -\omega^2 x(t)$.

Тогда модуль силы равен $F = |ma| = |-m \omega^2 x| = m\omega^2|x|$.

Сила достигает максимального значения $F_{max}$, когда смещение $|x|$ максимально, то есть равно амплитуде $A_{m}$.

Таким образом, $F_{max} = m\omega^2 A_{m}$.

Подставим числовые значения из условия задачи, переведенные в систему СИ:

$F_{max} = 0,01 \text{ кг} \cdot (\frac{\pi}{5} \text{ с}^{-1})^2 \cdot 0,05 \text{ м} = 0,01 \cdot \frac{\pi^2}{25} \cdot 0,05 = \frac{0,0005 \pi^2}{25} = 0,00002 \pi^2 \text{ Н}$.

Для численной оценки примем $\pi^2 \approx 9,87$:

$F_{max} \approx 0,00002 \cdot 9,87 \text{ Н} \approx 0,0001974 \text{ Н}$.

Округляя до двух значащих цифр (в соответствии с данными задачи), получаем:

$F_{max} \approx 2,0 \cdot 10^{-4} \text{ Н}$.

Ответ: $F_{max} \approx 2,0 \cdot 10^{-4} \text{ Н}$.

Полная энергия $W$

Полная механическая энергия $W$ колебательной системы (груз-пружина) сохраняется и может быть найдена как максимальная потенциальная энергия пружины $W = \frac{k A_{m}^2}{2}$, где $k$ — жесткость пружины.

Жесткость пружины $k$ связана с циклической частотой $\omega$ и массой $m$ соотношением $\omega^2 = \frac{k}{m}$, из которого следует, что $k = m\omega^2$.

Подставив это выражение в формулу для энергии, получим:

$W = \frac{m\omega^2 A_{m}^2}{2}$.

Подставим числовые значения:

$W = \frac{1}{2} \cdot 0,01 \text{ кг} \cdot (\frac{\pi}{5} \text{ с}^{-1})^2 \cdot (0,05 \text{ м})^2 = 0,005 \cdot \frac{\pi^2}{25} \cdot 0,0025 = \frac{0,0000125 \pi^2}{25} = 0,0000005 \pi^2 \text{ Дж} = 5 \cdot 10^{-7} \pi^2 \text{ Дж}$.

Для численной оценки примем $\pi^2 \approx 9,87$:

$W \approx 5 \cdot 10^{-7} \cdot 9,87 \text{ Дж} \approx 4,935 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$.

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$W \approx 4,9 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$.

Ответ: $W \approx 4,9 \cdot 10^{-6} \text{ Дж}$ (или 4,9 мкДж).