Номер 1263, страница 237 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$x(t) = A \sin(Bt + C)$

$A = 0,050$ м

$B = \frac{\pi}{4}$ рад/с

$C = \frac{\pi}{6}$ рад

$t_1 = 40$ с

$m = 10$ г

Перевод в систему СИ:

$m = 10 \cdot 10^{-3}$ кг $= 0,01$ кг

Найти:

$W_{к1}$ — ?

$W_{п1}$ — ?

Решение:

Уравнение гармонических колебаний груза имеет вид $x(t) = A \sin(Bt + C)$.

Скорость груза $v(t)$ является первой производной от координаты по времени:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \sin(Bt + C)) = AB \cos(Bt + C)$.

Кинетическая энергия груза $W_к$ в любой момент времени вычисляется по формуле:

$W_к = \frac{m v^2}{2}$

Потенциальная энергия пружины $W_п$ вычисляется по формуле:

$W_п = \frac{k x^2}{2}$, где $k$ — жесткость пружины.

Жесткость пружины $k$ связана с циклической частотой $B$ (обозначаемой также как $\omega$) и массой $m$ соотношением $B = \sqrt{\frac{k}{m}}$, откуда $k = mB^2$.

Найдем координату и скорость груза в момент времени $t_1 = 40$ с.

Сначала определим фазу колебаний $\phi_1$ в этот момент:

$\phi_1 = Bt_1 + C = \frac{\pi}{4} \cdot 40 + \frac{\pi}{6} = 10\pi + \frac{\pi}{6}$

Поскольку тригонометрические функции синус и косинус имеют период $2\pi$, то $\sin(10\pi + \alpha) = \sin(\alpha)$ и $\cos(10\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$.

Таким образом, координата груза в момент $t_1$ равна:

$x_1 = x(t_1) = A \sin(10\pi + \frac{\pi}{6}) = A \sin(\frac{\pi}{6}) = 0,050 \cdot \frac{1}{2} = 0,025$ м.

Скорость груза в момент $t_1$ равна:

$v_1 = v(t_1) = AB \cos(10\pi + \frac{\pi}{6}) = AB \cos(\frac{\pi}{6}) = 0,050 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{0,050\pi\sqrt{3}}{8}$ м/с.

Теперь вычислим потенциальную и кинетическую энергии.

Жесткость пружины:

$k = mB^2 = 0,01 \cdot (\frac{\pi}{4})^2 = \frac{0,01\pi^2}{16}$ Н/м.

Потенциальная энергия пружины в момент $t_1$:

$W_{п1} = \frac{k x_1^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{0,01\pi^2}{16}) \cdot (0,025)^2 = \frac{0,01\pi^2 \cdot 0,000625}{32} \approx \frac{0,01 \cdot 9,87 \cdot 0,000625}{32} \approx 1,93 \cdot 10^{-6}$ Дж.

Кинетическая энергия груза в момент $t_1$:

$W_{к1} = \frac{m v_1^2}{2} = \frac{1}{2} \cdot 0,01 \cdot (\frac{0,050\pi\sqrt{3}}{8})^2 = 0,005 \cdot \frac{0,050^2 \pi^2 \cdot 3}{64} = \frac{0,005 \cdot 0,0025 \cdot 3 \cdot \pi^2}{64} \approx \frac{0,0000375 \cdot 9,87}{64} \approx 5,78 \cdot 10^{-6}$ Дж.

Ответ:

Кинетическая энергия груза $W_{к1} \approx 5,8 \cdot 10^{-6}$ Дж, потенциальная энергия пружины $W_{п1} \approx 1,9 \cdot 10^{-6}$ Дж.