Номер 1268, страница 238 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$t_1 = 20 \text{ мс} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0,02 \text{ с}$

$m = 1,5 \text{ г} = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Из графика зависимости потенциальной энергии $W_п$ от времени $t$:

Потенциальная энергия в момент времени $t_1$: $W_п(t_1) = 30 \text{ мДж} = 30 \cdot 10^{-3} \text{ Дж} = 0,03 \text{ Дж}$

Период колебаний потенциальной энергии $T_W = 20 \text{ мс} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ с} = 0,02 \text{ с}$

Найти:

$|x_1|$

Решение:

Потенциальная энергия гармонического осциллятора (например, пружинного маятника) определяется формулой:

$W_п = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — смещение тела от положения равновесия.

Из этой формулы можно выразить модуль смещения $x_1$ в момент времени $t_1$:

$|x_1| = \sqrt{\frac{2W_п(t_1)}{k}}$

Для нахождения смещения необходимо определить коэффициент жесткости $k$. Он связан с массой осциллятора $m$ и его циклической (круговой) частотой колебаний $\omega$ соотношением: $k = m\omega^2$.

Циклическую частоту $\omega$ можно найти через период колебаний осциллятора $T$: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Период колебаний осциллятора $T$ можно определить из графика. Смещение осциллятора изменяется со временем по закону $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$. Тогда потенциальная энергия $W_п(t) = \frac{kA^2}{2}\cos^2(\omega t + \phi_0)$. Из тригонометрии известно, что $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$, поэтому $W_п$ колеблется с удвоенной частотой $2\omega$. Это означает, что период колебаний потенциальной энергии $T_W$ в два раза меньше периода колебаний самого осциллятора $T$.

$T = 2T_W$

По графику определяем период колебаний потенциальной энергии как время между двумя последовательными максимумами: $T_W = 20 \text{ мс} - 0 \text{ мс} = 20 \text{ мс} = 0,02 \text{ с}$.

Тогда период колебаний осциллятора равен:

$T = 2 \cdot 0,02 \text{ с} = 0,04 \text{ с}$

Теперь можем рассчитать циклическую частоту:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,04 \text{ с}} = 50\pi \text{ рад/с}$

Найдем коэффициент жесткости $k$:

$k = m\omega^2 = (1,5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (50\pi \text{ рад/с})^2 = 1,5 \cdot 10^{-3} \cdot 2500 \pi^2 \text{ Н/м} = 3,75 \pi^2 \text{ Н/м}$

Наконец, подставим все найденные значения в формулу для модуля смещения. Из графика в момент времени $t_1 = 20 \text{ мс}$ потенциальная энергия $W_п(t_1) = 30 \text{ мДж} = 0,03 \text{ Дж}$.

$|x_1| = \sqrt{\frac{2 \cdot W_п(t_1)}{k}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0,03 \text{ Дж}}{3,75 \pi^2 \text{ Н/м}}} = \sqrt{\frac{0,06}{3,75 \pi^2}} \text{ м} \approx \sqrt{\frac{0,016}{\pi^2}} \text{ м} = \frac{\sqrt{0,016}}{\pi} \text{ м}$

Выполним вычисления:

$|x_1| \approx \frac{0,1265}{3,1416} \text{ м} \approx 0,04027 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем 0,040 м или 4,0 см.

Ответ: модуль смещения осциллятора из положения равновесия в момент времени $t_1 = 20$ мс составляет приблизительно 4,0 см.