Номер 1276, страница 239 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Длина нити: $l$
Движение первого шарика: свободное падение с высоты $h_1 = l$
Движение второго шарика: колебание математического маятника с амплитудным углом $\alpha$ (малый)

Найти:

Сравнить время достижения положения равновесия для первого ($t_1$) и второго ($t_2$) шариков.

Решение:

Положением равновесия для обоих шариков является самая нижняя точка их возможной траектории.

Рассмотрим движение первого шарика. Он отпущен с высоты $l$ (относительно положения равновесия) и совершает свободное падение без начальной скорости. Время, за которое он пройдет это расстояние, определяется из уравнения равноускоренного движения:
$l = \frac{gt_1^2}{2}$
Отсюда выразим время движения первого шарика:
$t_1 = \sqrt{\frac{2l}{g}}$

Теперь рассмотрим движение второго шарика. Он представляет собой математический маятник. Его движение от крайнего отклоненного положения до положения равновесия (нижней точки) занимает время, равное четверти периода его колебаний $T$. Для малых углов отклонения период колебаний математического маятника равен:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
Следовательно, время движения второго шарика до положения равновесия составляет:
$t_2 = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4}\sqrt{\frac{l}{g}} = \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}$

Осталось сравнить полученные времена $t_1$ и $t_2$. Для этого сравним числовые коэффициенты при общем множителе $\sqrt{\frac{l}{g}}$:
Для $t_1$ коэффициент равен $\sqrt{2}$.
Для $t_2$ коэффициент равен $\frac{\pi}{2}$.
Используем приближенные значения:
$\sqrt{2} \approx 1.414$
$\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.1416}{2} \approx 1.571$
Так как $1.571 > 1.414$, то $\frac{\pi}{2} > \sqrt{2}$.
Следовательно, $t_2 > t_1$.
Это означает, что первый шарик, падающий вертикально, достигнет положения равновесия быстрее, чем второй шарик, движущийся по дуге.

Ответ: Первый шарик достигнет положения равновесия раньше.