Номер 1254, страница 236 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Тело совершает гармонические колебания.

$A$ - амплитуда колебаний (расстояние от среднего до крайнего положения).

$T$ - период колебаний.

Начальный момент времени $t=0$ соответствует прохождению телом положения равновесия ($x=0$).

Найти:

Отношение времени движения $t$ к периоду $T$ ($\frac{t}{T}$) для следующих участков:

1. Весь путь от среднего положения до крайнего (от $x=0$ до $x=A$).

2. Первая половина пути (от $x=0$ до $x=A/2$).

3. Вторая половина пути (от $x=A/2$ до $x=A$).

Решение:

Уравнение гармонических колебаний, когда тело в начальный момент времени ($t=0$) находится в положении равновесия ($x=0$) и начинает двигаться в сторону положительных смещений, можно записать в виде:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

где $x(t)$ — смещение тела от положения равновесия в момент времени $t$, $A$ — амплитуда, $\omega$ — циклическая частота.

Циклическая частота связана с периодом $T$ соотношением: $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Тогда уравнение движения принимает вид:

$x(t) = A \sin\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$

Используя это уравнение, найдем время движения для каждого из указанных участков.

весь путь от среднего положения до крайнего

Этот путь соответствует изменению координаты от $x=0$ до $x=A$. Пусть время, за которое это происходит, равно $t_{полн}$. Подставим $x = A$ в уравнение движения:

$A = A \sin\left(\frac{2\pi}{T}t_{полн}\right)$

$\sin\left(\frac{2\pi}{T}t_{полн}\right) = 1$

Наименьшее положительное значение аргумента синуса, при котором его значение равно 1, это $\frac{\pi}{2}$.

$\frac{2\pi}{T}t_{полн} = \frac{\pi}{2}$

Выразим $t_{полн}$:

$t_{полн} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{4}$

Искомая часть периода составляет $\frac{t_{полн}}{T} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

первую половину пути

Первая половина пути соответствует изменению координаты от $x=0$ до $x = A/2$. Пусть время, затраченное на этот участок, равно $t_1$. Подставим $x = A/2$ в уравнение движения:

$\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{2\pi}{T}t_1\right)$

$\sin\left(\frac{2\pi}{T}t_1\right) = \frac{1}{2}$

Наименьшее положительное значение аргумента синуса, при котором его значение равно $\frac{1}{2}$, это $\frac{\pi}{6}$.

$\frac{2\pi}{T}t_1 = \frac{\pi}{6}$

Выразим $t_1$:

$t_1 = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$

Искомая часть периода составляет $\frac{t_1}{T} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

вторую его половину

Вторая половина пути соответствует изменению координаты от $x=A/2$ до $x=A$. Время $t_2$, затраченное на прохождение этого участка, равно разности времени движения до крайнего положения $t_{полн}$ и времени движения на первую половину пути $t_1$.

$t_2 = t_{полн} - t_1$

$t_2 = \frac{T}{4} - \frac{T}{12} = \frac{3T}{12} - \frac{T}{12} = \frac{2T}{12} = \frac{T}{6}$

Искомая часть периода составляет $\frac{t_2}{T} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.