Номер 1252, страница 236 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Графики зависимости координат двух тел от времени $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

Найти:

1. Разность фаз $\Delta\varphi$.

2. Уравнения колебаний $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

Решение:

Общий вид уравнения гармонических колебаний: $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$, где $A$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, а $\varphi_0$ — начальная фаза.

Проанализируем каждый график, чтобы определить параметры колебаний.

Для первого тела (кривая 1):

• Амплитуда $A_1$ — это максимальное отклонение от положения равновесия. Из графика видно, что максимальное значение координаты равно $1,0$ м. Таким образом, $A_1 = 1,0 \text{ м}$.

• Период $T_1$ — время одного полного колебания. График показывает, что одно полное колебание (например, от одного минимума в $t=0$ до следующего минимума в $t=4,0$ с) занимает $4,0$ с. Следовательно, $T_1 = 4,0 \text{ с}$.

• Циклическая частота $\omega_1$ связана с периодом соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Для первого тела: $\omega_1 = \frac{2\pi}{4,0} = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$.

• Начальная фаза $\varphi_{01}$. В момент времени $t=0$ координата $x_1(0) = -1,0 \text{ м}$. Подставляя в общее уравнение: $x_1(0) = A_1 \cos(\omega_1 \cdot 0 + \varphi_{01})$. Получаем: $-1,0 = 1,0 \cdot \cos(\varphi_{01})$, откуда $\cos(\varphi_{01}) = -1$. Это соответствует начальной фазе $\varphi_{01} = \pi \text{ рад}$.

Для второго тела (кривая 2):

• Амплитуда $A_2$. Максимальное значение координаты для второго тела составляет $0,5$ м. Значит, $A_2 = 0,5 \text{ м}$.

• Период $T_2$. Из графика видно, что период колебаний второго тела также равен $4,0$ с, так как оно совершает одно полное колебание за это время. $T_2 = 4,0 \text{ с}$.

• Циклическая частота $\omega_2$ такая же, как и у первого тела: $\omega_2 = \frac{2\pi}{4,0} = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$.

• Начальная фаза $\varphi_{02}$. В момент времени $t=0$ координата $x_2(0) = 0$. Подставляя в общее уравнение: $x_2(0) = A_2 \cos(\omega_2 \cdot 0 + \varphi_{02})$. Получаем: $0 = 0,5 \cdot \cos(\varphi_{02})$, откуда $\cos(\varphi_{02}) = 0$. Это означает, что $\varphi_{02}$ может быть равно $\frac{\pi}{2}$ или $-\frac{\pi}{2}$. Чтобы определить правильное значение, посмотрим на направление движения в начальный момент. График показывает, что после $t=0$ координата $x_2$ становится отрицательной, следовательно, начальная скорость отрицательна. Выражение для скорости: $v_2(t) = x'_2(t) = -A_2\omega_2 \sin(\omega_2 t + \varphi_{02})$. При $t=0$, $v_2(0) = -A_2\omega_2 \sin(\varphi_{02})$. Так как $v_2(0) < 0$, а $A_2$ и $\omega_2$ положительны, то $\sin(\varphi_{02})$ должен быть положительным. Этому условию удовлетворяет значение $\varphi_{02} = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$.

Найдите разность фаз Δφ этих колебаний.

Разность фаз $\Delta\varphi$ определяется как модуль разности начальных фаз двух колебаний:

$\Delta\varphi = |\varphi_{01} - \varphi_{02}| = |\pi - \frac{\pi}{2}| = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$.

Ответ: Разность фаз колебаний $\Delta\varphi = \frac{\pi}{2}$ рад.

Запишите уравнения этих колебаний x₁(t) и x₂(t).

Подставляем найденные параметры в общую формулу $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$ для каждого тела.

Для первого тела: $A_1 = 1,0 \text{ м}$, $\omega_1 = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$, $\varphi_{01} = \pi \text{ рад}$.

$x_1(t) = 1,0 \cos(\frac{\pi}{2}t + \pi)$

Для второго тела: $A_2 = 0,5 \text{ м}$, $\omega_2 = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$, $\varphi_{02} = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$.

$x_2(t) = 0,5 \cos(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{2})$

Примечание: используя формулы приведения, уравнения можно также записать в виде $x_1(t) = -\cos(\frac{\pi}{2}t)$ и $x_2(t) = -0,5\sin(\frac{\pi}{2}t)$.

Ответ: Уравнения колебаний (в СИ): $x_1(t) = \cos(\frac{\pi}{2}t + \pi)$ и $x_2(t) = 0,5 \cos(\frac{\pi}{2}t + \frac{\pi}{2})$.