Номер 1255, страница 236 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$l$ - длина нити

$\alpha_0$ - начальный угол отклонения от вертикали

$\alpha(\Delta t_1) = \frac{\alpha_0}{2}$ - угол в искомый момент времени

Найти:

$\Delta t_1$ - минимальный промежуток времени

Решение:

Колебания математического маятника при малых углах отклонения являются гармоническими. Уравнение движения маятника, выраженное через угол отклонения $\alpha$ от положения равновесия, имеет вид:

$\alpha(t) = A \cos(\omega t + \phi)$

где $A$ - амплитуда колебаний, $\omega$ - циклическая частота, $\phi$ - начальная фаза, $t$ - время.

Циклическая частота для математического маятника определяется по формуле:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$

где $g$ - ускорение свободного падения.

В начальный момент времени ($t=0$) шарик отклоняют на максимальный угол $\alpha_0$ и отпускают без начальной скорости. Это означает, что амплитуда колебаний равна начальному углу отклонения, $A = \alpha_0$. Так как в момент $t=0$ отклонение максимально, косинус в уравнении движения должен быть равен 1. Следовательно, начальная фаза $\phi = 0$.

Таким образом, закон движения маятника принимает вид:

$\alpha(t) = \alpha_0 \cos(\omega t)$

Нам нужно найти минимальный промежуток времени $\Delta t_1$, через который угол отклонения станет вдвое меньше начального, то есть $\alpha(\Delta t_1) = \frac{\alpha_0}{2}$. Подставим это условие в уравнение движения:

$\frac{\alpha_0}{2} = \alpha_0 \cos(\omega \Delta t_1)$

Сократим на $\alpha_0$ (так как $\alpha_0 \neq 0$):

$\cos(\omega \Delta t_1) = \frac{1}{2}$

Чтобы найти минимальное положительное значение $\Delta t_1$, возьмем наименьшее положительное решение этого уравнения:

$\omega \Delta t_1 = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

Теперь выразим $\Delta t_1$:

$\Delta t_1 = \frac{\pi}{3\omega}$

Подставим выражение для циклической частоты $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$:

$\Delta t_1 = \frac{\pi}{3\sqrt{\frac{g}{l}}} = \frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{l}{g}}$

Ответ: Минимальный промежуток времени, через который угол между нитью и вертикалью уменьшится вдвое, равен $\Delta t_1 = \frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{l}{g}}$.