Номер 1249, страница 232 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Емкость конденсатора: $C$

Начальное напряжение на конденсаторе: $U$

Индуктивность катушки: $L$

Активное сопротивление катушки: $R$ ($R \neq 0$)

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Количество теплоты $Q$, выделившееся к моменту, когда сила тока $I$ достигнет максимального значения.

Решение:

1. Начальная энергия системы. В начальный момент времени вся энергия сосредоточена в электрическом поле заряженного конденсатора. Сила тока в цепи равна нулю. Начальная энергия системы $W_{нач}$ равна:

$W_{нач} = \frac{C U^2}{2}$

2. Состояние системы в момент максимального тока. Когда конденсатор разряжается, в RLC-цепи возникают затухающие электромагнитные колебания. Сила тока $I$ в цепи изменяется со временем. Нас интересует момент времени $t_{max}$, когда сила тока достигает своего первого максимального значения $I_{max}$.

В этот момент производная силы тока по времени равна нулю:

$\frac{dI}{dt} \bigg|_{t=t_{max}} = 0$

Запишем второе правило Кирхгофа (закон напряжений) для данного контура. Сумма падений напряжений на элементах цепи равна напряжению на конденсаторе:

$u_C = u_L + u_R$

где $u_C = q/C$ – напряжение на конденсаторе, $u_L = L \frac{dI}{dt}$ – ЭДС самоиндукции в катушке, $u_R = IR$ – падение напряжения на активном сопротивлении.

Подставив в это уравнение условие максимального тока $\frac{dI}{dt} = 0$, получим:

$u_C(t_{max}) = L \cdot 0 + I_{max}R$

$u_C(t_{max}) = I_{max}R$

Это означает, что в момент, когда ток максимален, напряжение на конденсаторе равно падению напряжения на активном сопротивлении катушки.

3. Закон сохранения энергии. По закону сохранения энергии, начальная энергия системы $W_{нач}$ равна сумме электромагнитной энергии, оставшейся в контуре в момент времени $t_{max}$, и количеству теплоты $Q$, выделившейся к этому моменту.

$W_{нач} = W_{эм}(t_{max}) + Q$

Электромагнитная энергия в момент $t_{max}$ складывается из энергии электрического поля конденсатора $W_C(t_{max})$ и энергии магнитного поля катушки $W_L(t_{max})$:

$W_{эм}(t_{max}) = W_C(t_{max}) + W_L(t_{max})$

Найдем эти энергии:

$W_C(t_{max}) = \frac{C u_C(t_{max})^2}{2} = \frac{C (I_{max}R)^2}{2}$

$W_L(t_{max}) = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Тогда полная электромагнитная энергия в этот момент:

$W_{эм}(t_{max}) = \frac{C I_{max}^2 R^2}{2} + \frac{L I_{max}^2}{2} = \frac{1}{2} I_{max}^2 (L + CR^2)$

4. Вычисление количества теплоты Q. Теперь мы можем выразить Q из закона сохранения энергии:

$Q = W_{нач} - W_{эм}(t_{max})$

$Q = \frac{C U^2}{2} - \frac{1}{2} I_{max}^2 (L + CR^2)$

Полученное выражение показывает, что количество выделившейся теплоты $Q$ зависит не только от начальных параметров $C$, $U$, $L$, но и от активного сопротивления $R$ и от величины максимального тока $I_{max}$. В свою очередь, значение $I_{max}$ зависит от всех параметров цепи (C, U, L, R) и для его нахождения требуется решить дифференциальное уравнение, описывающее процессы в RLC-контуре.

Таким образом, в общем виде задача не имеет простого ответа, выраженного только через $C$, $U$ и $L$. Ответ будет зависеть также и от сопротивления $R$.

Ответ: Количество теплоты $Q$, которое выделится в катушке к моменту достижения максимального тока $I_{max}$, выражается формулой $Q = \frac{C U^2}{2} - \frac{1}{2} I_{max}^2 (L + CR^2)$, где $R$ – активное сопротивление катушки, а $I_{max}$ – максимальное значение силы тока, зависящее от всех параметров цепи ($C, U, L, R$).