Номер 1299, страница 242 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса шарика: $m$

Жесткость пружины: $k$

Амплитуда колебаний без плиты: $A$

Положение плиты от положения равновесия: $x_1 = \frac{A}{2}$

Соударение с плитой: абсолютно упругое

Найти:

Период колебаний шарика $T$.

Решение:

Движение шарика в присутствии плиты является периодическим, но не гармоническим, так как на него действует дополнительная сила в момент удара о плиту. Период $T$ таких колебаний — это время, за которое система возвращается в исходное состояние (положение и скорость).

Если бы плиты не было, шарик совершал бы простые гармонические колебания с периодом $T_0$, который определяется по формуле:

$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

С плитой шарик колеблется между крайним левым положением $x = -A$ и положением плиты $x = \frac{A}{2}$. Один полный цикл колебания состоит из движения от $x = -A$ до $x = \frac{A}{2}$ и обратно.

Так как соударение с плитой абсолютно упругое, скорость шарика при отскоке мгновенно меняет направление на противоположное, сохраняя свою величину. Это означает, что движение от плиты до крайнего левого положения является зеркальным отражением движения к плите. Следовательно, время движения от $x = -A$ до $x = \frac{A}{2}$ равно времени движения в обратном направлении.

Таким образом, период новых колебаний $T$ равен удвоенному времени $t_1$, которое требуется шарику, чтобы дойти от $x = -A$ до $x = \frac{A}{2}$:

$T = 2 \cdot t_1$

Время $t_1$ можно представить как сумму времени движения от крайнего положения $x = -A$ до положения равновесия $x=0$ ($t_A$) и времени движения от положения равновесия $x=0$ до плиты $x=\frac{A}{2}$ ($t_B$).

$t_1 = t_A + t_B$

Время движения от крайнего положения до положения равновесия в гармонических колебаниях всегда равно четверти полного периода $T_0$:

$t_A = t_{(-A \to 0)} = \frac{T_0}{4}$

Для нахождения времени $t_B$ воспользуемся уравнением гармонических колебаний. Если принять, что в момент времени $t=0$ шарик проходит положение равновесия ($x=0$), его координата изменяется по закону синуса:

$x(t) = A \sin(\omega t)$, где $\omega = \frac{2\pi}{T_0}$ — циклическая частота.

Нам нужно найти время $t_B$, за которое шарик достигнет координаты $x = \frac{A}{2}$:

$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t_B)$

$\sin(\omega t_B) = \frac{1}{2}$

Отсюда находим фазу колебаний (берем наименьшее положительное значение):

$\omega t_B = \frac{\pi}{6}$

Выразим время $t_B$:

$t_B = \frac{\pi}{6\omega} = \frac{\pi}{6 \cdot \frac{2\pi}{T_0}} = \frac{T_0}{12}$

Теперь найдем полное время движения в одну сторону $t_1$:

$t_1 = t_A + t_B = \frac{T_0}{4} + \frac{T_0}{12} = \frac{3T_0 + T_0}{12} = \frac{4T_0}{12} = \frac{T_0}{3}$

Период колебаний $T$ равен удвоенному этому времени:

$T = 2 \cdot t_1 = 2 \cdot \frac{T_0}{3} = \frac{2}{3} T_0$

Подставив выражение для $T_0$, получим окончательный ответ:

$T = \frac{2}{3} \cdot 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{4\pi}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$

Ответ: $T = \frac{4\pi}{3}\sqrt{\frac{m}{k}}$