Номер 1302, страница 242 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m = 0,40$ кг

$k = 0,25 \frac{\text{кН}}{\text{м}}$

$A = 15$ см

В системе СИ:

$m = 0,40$ кг

$k = 0,25 \cdot 10^3 \frac{\text{Н}}{\text{м}} = 250 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$A = 15 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,15 \text{ м}$

Найти:

$W$ - ?

$v_{max}$ - ?

$\frac{W_к}{W_п}$ при $x = \frac{A}{2}$ - ?

Решение:

Полная механическая энергия W

Полная механическая энергия $W$ системы при гармонических колебаниях сохраняется и равна максимальному значению потенциальной энергии. Максимальная потенциальная энергия достигается при максимальном смещении тела от положения равновесия, то есть при смещении, равном амплитуде $A$.

Формула для полной механической энергии:

$W = W_{п,max} = \frac{kA^2}{2}$

Подставим числовые значения в СИ:

$W = \frac{250 \frac{\text{Н}}{\text{м}} \cdot (0,15 \text{ м})^2}{2} = \frac{250 \cdot 0,0225}{2} = 2,8125 \text{ Дж}$.

С учетом того, что исходные данные имеют две значащие цифры, округлим результат:

$W \approx 2,8 \text{ Дж}$.

Ответ: полная механическая энергия колебаний $W \approx 2,8$ Дж.

Модуль наибольшей скорости v_{max}

Наибольшая скорость $v_{max}$ достигается в момент прохождения грузом положения равновесия ($x=0$), где вся механическая энергия системы переходит в кинетическую энергию груза.

$W = W_{к,max} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Приравнивая выражения для максимальной потенциальной и максимальной кинетической энергии, получаем:

$\frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

Отсюда выражаем $v_{max}$:

$v_{max} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим значения:

$v_{max} = 0,15 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{250 \frac{\text{Н}}{\text{м}}}{0,40 \text{ кг}}} = 0,15 \cdot \sqrt{625} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 0,15 \cdot 25 \frac{\text{м}}{\text{с}} = 3,75 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

С учетом значащих цифр исходных данных, округлим результат:

$v_{max} \approx 3,8 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.

Ответ: модуль наибольшей скорости движения груза $v_{max} \approx 3,8$ м/с.

Отношение $\frac{W_к}{W_п}$ в момент, когда смещение равно половине амплитуды

Рассмотрим момент, когда смещение от положения равновесия $x = \frac{A}{2}$.

Потенциальная энергия системы $W_п$ в этот момент равна:

$W_п = \frac{kx^2}{2} = \frac{k(\frac{A}{2})^2}{2} = \frac{k A^2}{8}$

Согласно закону сохранения энергии, кинетическая энергия $W_к$ в этот момент равна разности полной и потенциальной энергий:

$W_к = W - W_п = \frac{kA^2}{2} - \frac{kA^2}{8} = \frac{4kA^2 - kA^2}{8} = \frac{3kA^2}{8}$

Теперь найдем искомое отношение:

$\frac{W_к}{W_п} = \frac{\frac{3kA^2}{8}}{\frac{kA^2}{8}} = 3$

Данное отношение не зависит от конкретных значений массы, жесткости и амплитуды.

Ответ: отношение кинетической энергии груза к потенциальной энергии системы равно 3.