Номер 1309, страница 244 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Масса первого бруска: $m_1$

Масса второго бруска: $m_2$

Жесткость пружины: $k$

Период колебаний брусков: $T$

Рассмотрим систему, состоящую из двух брусков и пружины. Поскольку трением пренебрегаем, на систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы. Это означает, что центр масс системы будет оставаться в покое, так как изначально система покоилась. Колебания будут происходить относительно неподвижного центра масс.

Движение такой системы можно свести к колебаниям одного тела с так называемой приведенной массой $\mu$. Запишем уравнения движения для каждого бруска вдоль горизонтальной оси $Ox$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — координаты брусков, а $L_0$ — длина пружины в недеформированном состоянии. Сила упругости, действующая на бруски, зависит от деформации пружины $\Delta L = (x_2 - x_1) - L_0$.

Согласно второму закону Ньютона:

$m_1 \frac{d^2x_1}{dt^2} = k(x_2 - x_1 - L_0)$

$m_2 \frac{d^2x_2}{dt^2} = -k(x_2 - x_1 - L_0)$

Выразим ускорения:

$\frac{d^2x_1}{dt^2} = \frac{k}{m_1}(x_2 - x_1 - L_0)$

$\frac{d^2x_2}{dt^2} = -\frac{k}{m_2}(x_2 - x_1 - L_0)$

Рассмотрим относительное ускорение брусков, то есть ускорение изменения расстояния между ними:

$\frac{d^2(x_2-x_1)}{dt^2} = \frac{d^2x_2}{dt^2} - \frac{d^2x_1}{dt^2} = -\frac{k}{m_2}(x_2 - x_1 - L_0) - \frac{k}{m_1}(x_2 - x_1 - L_0)$

$\frac{d^2(x_2-x_1)}{dt^2} = -k \left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)(x_2 - x_1 - L_0)$

Пусть $q = x_2 - x_1 - L_0$ — это деформация пружины. Тогда $\frac{d^2q}{dt^2} = \frac{d^2(x_2-x_1)}{dt^2}$. Уравнение для деформации примет вид:

$\frac{d^2q}{dt^2} = -k \left(\frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}\right) q$

Это стандартное дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{q} = -\omega^2 q$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний.

Сравнивая уравнения, находим квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = k \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$

Величину $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ называют приведенной массой системы. Тогда $\omega^2 = \frac{k}{\mu}$.

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Подставляя выражение для $\omega$, получаем формулу для периода колебаний системы:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\omega^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$

Начальное сжатие пружины определяет амплитуду и полную энергию колебаний, но не влияет на их период.

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}}$