Номер 1313, страница 244 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Сообщающиеся сосуды с площадями поперечных сечений $S_1 = S$ и $S_2 = 2S$.

Масса ртути: $m$.

Плотность ртути: $\rho$.

Ускорение свободного падения: $g$.

Найти:

Период колебаний ртути $T$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Полная механическая энергия системы (кинетическая + потенциальная) при малых колебаниях остается постоянной.

Пусть в положении равновесия уровни ртути в обоих сосудах находятся на одной высоте. Выведем систему из положения равновесия, сместив уровень ртути в узком сосуде (площадью $S$) вверх на малую высоту $x$.

Поскольку ртуть — несжимаемая жидкость, объем поднявшейся в узком сосуде ртути равен объему опустившейся ртути в широком сосуде. Пусть в широком сосуде (площадью $2S$) уровень ртути опустился на высоту $y$. Тогда:

$S \cdot x = 2S \cdot y$

Отсюда находим связь между смещениями:

$y = \frac{x}{2}$

Теперь найдем изменение потенциальной энергии системы $\Delta U$ при таком смещении. Изменение потенциальной энергии равно работе, которую совершает сила тяжести. Его можно рассчитать как разность потенциальных энергий в смещенном и равновесном положениях. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии уровень ртути в состоянии равновесия.

В узком сосуде над равновесным уровнем появился столб ртути высотой $x$ и объемом $V_1 = Sx$. Его потенциальная энергия равна:

$\Delta U_1 = \int_0^x z \cdot g \cdot dm = \int_0^x z g \rho (S dz) = \rho g S \frac{x^2}{2}$

В широком сосуде под равновесным уровнем образовалась "пустота" объемом $V_2 = 2Sy = Sx$. Это эквивалентно тому, что масса ртути, ранее занимавшая этот объем, переместилась. Потенциальная энергия этой части системы изменилась. Изменение потенциальной энергии системы равно потенциальной энергии "добавленной" массы минус потенциальная энергия "убранной" массы (относительно начального состояния):

$\Delta U = (\text{ПЭ столба высотой } x \text{ в узком сосуде}) - (\text{ПЭ столба от } -y \text{ до } 0 \text{ в широком сосуде})$

$\Delta U = \frac{1}{2}\rho g S x^2 - \int_{-y}^0 z g \rho (2S dz) = \frac{1}{2}\rho g S x^2 - 2\rho g S [\frac{z^2}{2}]_{-y}^0 = \frac{1}{2}\rho g S x^2 - 2\rho g S (0 - \frac{y^2}{2}) = \frac{1}{2}\rho g S x^2 + \rho g S y^2$

Подставим $y = x/2$:

$\Delta U = \frac{1}{2}\rho g S x^2 + \rho g S (\frac{x}{2})^2 = \frac{1}{2}\rho g S x^2 + \frac{1}{4}\rho g S x^2 = \frac{3}{4}\rho g S x^2$

Теперь найдем кинетическую энергию системы $K$. Скорость движения ртути в узком сосуде $v_1 = \dot{x}$, а в широком $v_2 = \dot{y} = \frac{\dot{x}}{2}$.

Пусть в положении равновесия длина столба ртути в узком сосуде равна $L_1$, а в широком — $L_2$. Тогда их массы равны $m_1 = \rho S L_1$ и $m_2 = \rho (2S) L_2$.

Полная кинетическая энергия (пренебрегая движением в соединительной трубке) равна:

$K = K_1 + K_2 = \frac{1}{2}m_1 v_1^2 + \frac{1}{2}m_2 v_2^2 = \frac{1}{2}(\rho S L_1)\dot{x}^2 + \frac{1}{2}(\rho 2S L_2)(\frac{\dot{x}}{2})^2 = \frac{1}{2}\rho S L_1 \dot{x}^2 + \frac{1}{4}\rho S L_2 \dot{x}^2$

$K = \frac{1}{2} (\rho S (L_1 + \frac{L_2}{2})) \dot{x}^2$

Полная энергия системы $E = K + \Delta U$ сохраняется, поэтому ее производная по времени равна нулю:

$\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \rho S (L_1 + \frac{L_2}{2}) \dot{x}^2 + \frac{3}{4}\rho g S x^2 \right) = 0$

$\rho S (L_1 + \frac{L_2}{2}) \dot{x}\ddot{x} + \frac{3}{2}\rho g S x \dot{x} = 0$

Сокращая на $\dot{x}$ (для колеблющейся системы $\dot{x} \neq 0$) и $\rho S$, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

$(L_1 + \frac{L_2}{2})\ddot{x} + \frac{3}{2}g x = 0$

$\ddot{x} + \frac{3g}{2L_1+L_2} x = 0$

Отсюда циклическая частота колебаний $\omega^2 = \frac{3g}{2L_1+L_2}$, а период $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{2L_1+L_2}{3g}}$.

Результат зависит от длин столбов $L_1$ и $L_2$, которые не заданы. В таких задачах обычно делается неявное предположение о геометрии системы. Предположим, что в равновесии высоты столбов ртути в вертикальных частях сосудов одинаковы: $L_1 = L_2 = L_0$.

При этом предположении полная масса ртути $m$ (пренебрегая массой в соединительной части) равна:

$m = m_1 + m_2 = \rho S L_1 + \rho (2S) L_2 = \rho S L_0 + 2\rho S L_0 = 3\rho S L_0$

Отсюда выразим $L_0$:

$L_0 = \frac{m}{3\rho S}$

Подставим $L_1 = L_2 = L_0$ в формулу для периода:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{2L_0+L_0}{3g}} = 2\pi\sqrt{\frac{3L_0}{3g}} = 2\pi\sqrt{\frac{L_0}{g}}$

Теперь подставим найденное выражение для $L_0$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{m/(3\rho S)}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{3\rho g S}}$

Здесь $\rho$ — плотность ртути, которая является известной физической константой.

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{3\rho g S}}$