Номер 1318, страница 245 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Определите модуль максимальной силы давления F на доску.

Дано:

$m = 1,0$ кг
$T = 0,50$ с
$A = 3,0$ см $= 0,030$ м
$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$F_{max}$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на груз в вертикальном направлении: сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вверх. По третьему закону Ньютона, сила давления груза на доску $F$ равна по модулю силе нормальной реакции опоры: $F = N$.

Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:
$N - mg = ma$
где $a$ — ускорение груза (и доски).

Отсюда выразим силу давления:
$F = N = m(g + a)$

Сила давления будет максимальной, когда ускорение $a$ будет максимальным и направленным вверх (положительным в нашей системе координат). При гармонических колебаниях это происходит в нижней точке траектории.

Модуль максимального ускорения при гармонических колебаниях равен:
$a_{max} = \omega^2 A$
где $\omega$ — циклическая частота, $A$ — амплитуда колебаний.

Циклическая частота связана с периодом $T$ соотношением:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это в формулу для максимальной силы давления:
$F_{max} = m(g + a_{max}) = m(g + \omega^2 A) = m\left(g + \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 A\right)$

Выполним вычисления:
$\omega = \frac{2\pi}{0,50 \text{ с}} = 4\pi$ рад/с
$F_{max} = 1,0 \text{ кг} \cdot \left(9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + (4\pi \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2 \cdot 0,030 \text{ м}\right) = 1,0 \cdot (9,8 + 16\pi^2 \cdot 0,030) \approx 1,0 \cdot (9,8 + 157,91 \cdot 0,030) \approx 9,8 + 4,74 = 14,54$ Н

С учетом значащих цифр (в исходных данных их две), округляем результат.

Ответ: модуль максимальной силы давления $F_{max} \approx 15$ Н.

Какой должна быть амплитуда A колебаний доски, чтобы груз начал отскакивать от нее?

Дано:

$T = 0,50$ с
$g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

$A_{crit}$

Решение:

Груз начнет отскакивать от доски (терять с ней контакт) в тот момент, когда сила нормальной реакции опоры $N$ станет равной нулю.

Из уравнения второго закона Ньютона $N = m(g + a)$, условие $N = 0$ дает:
$m(g + a) = 0 \implies a = -g$

Это означает, что груз начнет отрываться от доски, когда ее ускорение, направленное вниз, станет равным по модулю ускорению свободного падения $g$.

Максимальное ускорение, направленное вниз, система имеет в верхней точке траектории, и его модуль равен $a_{max} = \omega^2 A$.

Следовательно, для начала отрыва груза необходимо, чтобы выполнялось условие $a_{max} \ge g$. Критическая амплитуда $A_{crit}$, при которой груз начнет отскакивать, соответствует равенству:
$\omega^2 A_{crit} = g$

Отсюда находим амплитуду:
$A_{crit} = \frac{g}{\omega^2} = \frac{g}{\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2}$

Подставим числовые значения, используя циклическую частоту из первой части задачи:
$\omega = 4\pi$ рад/с
$A_{crit} = \frac{9,8 \text{ м/с}^2}{(4\pi \text{ рад/с})^2} = \frac{9,8}{16\pi^2} \approx \frac{9,8}{157,91} \approx 0,06206$ м

Округляя до двух значащих цифр и переводя в сантиметры:
$A_{crit} \approx 6,2$ см

Ответ: чтобы груз начал отскакивать от доски, амплитуда колебаний должна быть не менее 6,2 см ($A \ge 6,2$ см).