Номер 1321, страница 245 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$H$ - высота горы
$h$ - глубина шахты
$T_H$ - период колебаний маятника на вершине горы
$T_h$ - период колебаний маятника на дне шахты
$T_H = T_h$

Найти:

Соотношение между $H$ и $h$.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, где $l$ - длина маятника, а $g$ - ускорение свободного падения.

По условию задачи, периоды колебаний на вершине горы ($T_H$) и на дне шахты ($T_h$) одинаковы. Поскольку используется один и тот же маятник, его длина $l$ не изменяется. Следовательно, для равенства периодов необходимо, чтобы ускорения свободного падения в этих точках также были равны:

$g_H = g_h$

Найдем выражения для ускорения свободного падения в каждой из этих точек, считая, что высота горы $H$ и глубина шахты $h$ значительно меньше радиуса Земли $R$ ($H \ll R$, $h \ll R$).

1. Ускорение свободного падения на вершине горы высотой $H$.Расстояние от центра Земли до этой точки равно $R+H$. Ускорение свободного падения определяется законом всемирного тяготения:$g_H = \frac{GM}{(R+H)^2}$, где $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса Земли.Преобразуем выражение:$g_H = \frac{GM}{R^2(1 + H/R)^2} = g_0 (1 + H/R)^{-2}$, где $g_0 = \frac{GM}{R^2}$ - ускорение свободного падения на поверхности Земли.Используя формулу биномиального приближения $(1+x)^n \approx 1+nx$ для малых $x = H/R$, получим:$g_H \approx g_0 \left(1 - 2\frac{H}{R}\right)$

2. Ускорение свободного падения на дне шахты на глубине $h$.На тело, находящееся на глубине $h$ (на расстоянии $r = R-h$ от центра), действует сила притяжения только той части массы Земли ($M'$), которая заключена в сфере радиусом $r = R-h$. Принимая плотность Земли $\rho$ однородной, имеем:$M = \rho \frac{4}{3}\pi R^3$ и $M' = \rho \frac{4}{3}\pi (R-h)^3$.Тогда ускорение свободного падения на глубине $h$ равно:$g_h = \frac{GM'}{(R-h)^2} = \frac{G \rho \frac{4}{3}\pi (R-h)^3}{(R-h)^2} = G \rho \frac{4}{3}\pi (R-h)$.Так как $g_0 = \frac{GM}{R^2} = G \rho \frac{4}{3}\pi R$, то $G \rho \frac{4}{3}\pi = \frac{g_0}{R}$.Подставив это в выражение для $g_h$, получим:$g_h = \frac{g_0}{R}(R-h) = g_0\left(1 - \frac{h}{R}\right)$.

Теперь приравняем полученные выражения для $g_H$ и $g_h$:$g_0\left(1 - 2\frac{H}{R}\right) = g_0\left(1 - \frac{h}{R}\right)$Сократив $g_0$, получаем:$1 - 2\frac{H}{R} = 1 - \frac{h}{R}$$-2\frac{H}{R} = -\frac{h}{R}$$2H = h$

Таким образом, глубина шахты должна быть в два раза больше высоты горы.

Ответ: $h = 2H$.