Номер 1324, страница 246 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 40,0 \, \text{м/с}$

$a = 320 \, \text{м/с}^2$

$A = 2,00 \, \text{мм} = 2,00 \cdot 10^{-3} \, \text{м}$

Найти:

а) $λ$ - ?

б) Направление смещения частицы в точке А - ?

Решение:

а) На графике показана зависимость смещения $x$ частицы струны от времени $t$. Точка K соответствует моменту, когда смещение частицы максимально и равно амплитуде $A$. В этот момент частица имеет максимальное по модулю ускорение.

Уравнение гармонических колебаний для смещения имеет вид $x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0)$, где $\omega$ — циклическая частота. Ускорение частицы является второй производной от смещения по времени: $a_p(t) = x''(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0) = -\omega^2 x(t)$.

Модуль ускорения равен $|a_p| = \omega^2 |x|$.

В точке K смещение максимально, $|x| = A$, следовательно, модуль ускорения также максимален и равен $a = a_{max} = \omega^2 A$.

Отсюда мы можем найти циклическую частоту колебаний $\omega$:

$\omega = \sqrt{\frac{a}{A}}$

Подставим числовые значения:

$\omega = \sqrt{\frac{320 \, \text{м/с}^2}{2,00 \cdot 10^{-3} \, \text{м}}} = \sqrt{160 \cdot 10^3 \, \text{с}^{-2}} = \sqrt{16 \cdot 10^4 \, \text{с}^{-2}} = 4 \cdot 10^2 \, \text{рад/с} = 400 \, \text{рад/с}$

Длина волны $λ$ связана со скоростью распространения волны $v$ и периодом колебаний $T$ соотношением $λ = vT$. Период, в свою очередь, связан с циклической частотой как $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Тогда для длины волны получаем:

$λ = v \cdot \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим известные значения:

$λ = 40,0 \, \text{м/с} \cdot \frac{2\pi}{400 \, \text{рад/с}} = \frac{80,0\pi}{400} \, \text{м} = 0,2\pi \, \text{м} \approx 0,628 \, \text{м}$

Ответ: $λ \approx 0,63 \, \text{м}$.

б) График на рисунке показывает зависимость смещения частицы от времени $x(t)$. Скорость частицы в любой момент времени определяется как производная от смещения по времени, $v_p = \frac{dx}{dt}$, и геометрически равна тангенсу угла наклона касательной к графику $x(t)$ в данный момент времени.

В точке А смещение частицы равно нулю ($x=0$), и, как видно из графика, после прохождения этой точки смещение становится отрицательным (график идет вниз). Это означает, что тангенс угла наклона касательной в точке А отрицателен, следовательно, и скорость частицы в этот момент направлена в отрицательную сторону оси $x$. На рисунке ось $x$ направлена вертикально вверх, поэтому частица в следующий момент времени сместится вниз.

Ответ: Частица струны, соответствующая точке А, в следующий момент времени сместится вниз, то есть в отрицательном направлении оси $x$.