Номер 1317, страница 245 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано

Частота колебаний, $ν = 0,25$ Гц
Коэффициент трения, $μ = 0,10$
Ускорение свободного падения, $g ≈ 10$ м/с²

Найти:

Максимальная амплитуда, $A_{max}$ — ?

Решение

Чтобы груз не скользил по платформе, он должен двигаться с тем же ускорением, что и платформа. Сила, сообщающая это ускорение грузу, — это сила трения покоя $F_{тр}$. Согласно второму закону Ньютона, в горизонтальном направлении на груз действует только сила трения:

$F_{тр} = ma$

где $m$ — масса груза, а $a$ — его ускорение.

Проскальзывание отсутствует до тех пор, пока сила трения покоя $F_{тр}$ не превышает своего максимального значения $F_{тр.max}$. Максимальная сила трения покоя вычисляется по формуле:

$F_{тр.max} = μN$

Поскольку платформа колеблется в горизонтальном направлении, вертикальные силы скомпенсированы. Сила нормальной реакции $N$ равна силе тяжести $mg$:

$N = mg$

Таким образом, максимальная сила трения покоя равна:

$F_{тр.max} = μmg$

Соответственно, максимальное ускорение, которое сила трения может сообщить грузу, равно:

$a_{max} = \frac{F_{тр.max}}{m} = \frac{μmg}{m} = μg$

При гармонических колебаниях ускорение платформы (и груза) изменяется со временем. Его максимальное значение $a_{колеб.max}$ связано с амплитудой $A$ и циклической частотой $ω$ соотношением:

$a_{колеб.max} = Aω^2$

Циклическая частота $ω$ связана с обычной частотой $ν$:

$ω = 2πν$

Для того чтобы груз не скользил, максимальное ускорение платформы не должно превышать максимального ускорения, которое может обеспечить сила трения:

$a_{колеб.max} \le a_{max}$

Подставляя выражения для ускорений, получаем:

$Aω^2 \le μg$

$A(2πν)^2 \le μg$

Максимальная амплитуда $A_{max}$ соответствует случаю, когда это неравенство превращается в равенство:

$A_{max}(2πν)^2 = μg$

Отсюда выражаем искомую максимальную амплитуду:

$A_{max} = \frac{μg}{(2πν)^2} = \frac{μg}{4π^2ν^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$A_{max} = \frac{0,10 \cdot 10 \text{ м/с²}}{4π^2(0,25 \text{ Гц})^2} = \frac{1}{4π^2 \cdot 0,0625} = \frac{1}{0,25π^2} = \frac{4}{π^2}$ м

Для вычисления используем приближенное значение $π^2 ≈ 9,87$:

$A_{max} ≈ \frac{4}{9,87} ≈ 0,4052$ м

Округляя результат до двух значащих цифр, получаем:

$A_{max} ≈ 0,41$ м

Ответ: Максимальная амплитуда колебаний платформы, чтобы груз не скользил по ней, должна быть $A_{max} ≈ 0,41$ м.