Номер 1316, страница 245 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Ускорение чаши: $a = \frac{g}{3}$

Внутренний радиус чаши: $R$

Ускорение свободного падения: $g$

Условие: колебания кубика малые.

Найти:

Период колебаний кубика: $T$

Решение:

Для решения этой задачи удобно перейти в неинерциальную систему отсчета, связанную с чашей. В этой системе отсчета на кубик, помимо реальных сил (силы тяжести $\vec{F}_g$ и силы нормальной реакции $\vec{N}$), действует сила инерции $\vec{F}_{ин}$.

Чаша движется с ускорением $\vec{a}$, направленным вертикально вниз. Сила инерции, действующая на кубик массой $m$, направлена в противоположную сторону, то есть вертикально вверх, и ее модуль равен $F_{ин} = ma$.

Сила тяжести $\vec{F}_g = m\vec{g}$ направлена вертикально вниз.

В системе отсчета, связанной с чашей, равнодействующая силы тяжести и силы инерции создает "эффективную" силу тяжести $\vec{F}_{эфф}$. Так как эти силы направлены вдоль одной вертикальной прямой в противоположные стороны, модуль эффективной силы тяжести равен разности их модулей:

$F_{эфф} = mg - F_{ин} = mg - ma = m(g - a)$

Эта эффективная сила направлена вертикально вниз. Соответственно, эффективное ускорение свободного падения в данной неинерциальной системе отсчета равно:

$g_{эфф} = \frac{F_{эфф}}{m} = g - a$

Подставим в это выражение заданное значение ускорения чаши $a = \frac{g}{3}$:

$g_{эфф} = g - \frac{g}{3} = \frac{2g}{3}$

Поскольку внутренний радиус чаши $R$ намного больше длины ребра кубика, кубик можно рассматривать как материальную точку. Движение материальной точки по внутренней поверхности сферической чаши при малых отклонениях от положения равновесия представляет собой гармонические колебания. Такая система эквивалентна математическому маятнику с длиной подвеса, равной радиусу чаши $R$.

Период малых колебаний математического маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{ускорение}}}$

В нашем случае длина "подвеса" $L = R$, а роль ускорения свободного падения играет эффективное ускорение $g_{эфф}$. Таким образом, период колебаний кубика будет:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g_{эфф}}}$

Подставим найденное значение $g_{эфф}$ в формулу для периода:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{\frac{2g}{3}}} = 2\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{3R}{2g}}$