Номер 1314, страница 244 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Радиус обруча: $R$

Трение отсутствует

Колебания малые

Найти:

Период малых колебаний $T$

Решение:

Рассмотрим брусок, когда он отклонен от положения равновесия (нижней точки обруча) на малый угол $\alpha$. В этот момент на брусок действуют две силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная по радиусу к центру обруча.

Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на касательное направление к траектории. Движение бруска происходит под действием тангенциальной (касательной) составляющей силы тяжести $F_{\tau}$. Эта сила является возвращающей, так как она всегда направлена к положению равновесия.

Величина тангенциальной составляющей силы тяжести равна:

$F_{\tau} = mg \sin\alpha$

Согласно второму закону Ньютона, $F = ma$, где $a$ — тангенциальное ускорение. Уравнение движения в проекции на касательную, направленную к положению равновесия, будет иметь вид (знак "минус" указывает на то, что сила возвращающая):

$ma = -mg \sin\alpha$

Сократив массу $m$, получим:

$a = -g \sin\alpha$

Поскольку по условию задачи колебания малые, угол $\alpha$ мал. Для малых углов, выраженных в радианах, можно использовать приближение $\sin\alpha \approx \alpha$. Тогда уравнение движения принимает вид:

$a = -g\alpha$

Тангенциальное ускорение $a$ связано с угловым ускорением $\varepsilon$ соотношением $a = R\varepsilon = R\frac{d^2\alpha}{dt^2}$. Подставим это в уравнение:

$R\frac{d^2\alpha}{dt^2} = -g\alpha$

Перепишем уравнение в стандартной форме для гармонических колебаний:

$\frac{d^2\alpha}{dt^2} + \frac{g}{R}\alpha = 0$

Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$, где $\omega$ — циклическая (угловая) частота колебаний. Сравнивая уравнения, находим квадрат циклической частоты:

$\omega^2 = \frac{g}{R}$

Отсюда циклическая частота равна:

$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Подставив выражение для $\omega$, получим:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{R}}} = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$

Заметим, что полученная формула совпадает с формулой периода малых колебаний математического маятника длиной, равной радиусу обруча $R$.

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}$