Номер 1308, страница 244 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$m_1 = 1,0$ кг

$m_2 = 4,1$ кг

$A = 1,6$ см

$\omega = 25$ рад/с

Перевод в систему СИ:

$A = 1,6 \cdot 10^{-2}$ м $= 0,016$ м

Найти:

$F_{max}$ - ?

$F_{min}$ - ?

Решение:

Сила давления $F$ системы на опорную плоскость по третьему закону Ньютона равна по модулю силе нормальной реакции опоры $N$, действующей на тело B. Рассмотрим систему из двух тел (B и C) как единое целое. На систему действуют внешние силы: суммарная сила тяжести $(m_1 + m_2)g$, направленная вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вверх.

Запишем второй закон Ньютона для центра масс системы в проекции на вертикальную ось OY, направленную вверх:

$N - (m_1 + m_2)g = (m_1+m_2)a_{cm}$,

где $a_{cm}$ - ускорение центра масс системы.

Ускорение центра масс определяется как $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$, где $a_1$ и $a_2$ - ускорения тел C и B соответственно. Так как тело B покоится на опорной плоскости, его ускорение $a_2 = 0$. Ускорение тела C, совершающего гармонические колебания, обозначим как $a_1$. Тогда:

$a_{cm} = \frac{m_1 a_1}{m_1 + m_2}$.

Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$N - (m_1 + m_2)g = (m_1+m_2) \cdot \frac{m_1 a_1}{m_1 + m_2} = m_1 a_1$.

Отсюда выразим силу нормальной реакции опоры, которая равна искомой силе давления $F$:

$F = N = (m_1 + m_2)g + m_1 a_1$.

При гармонических колебаниях тела C его ускорение $a_1$ изменяется по закону $a_1(t) = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi_0)$, то есть его значение лежит в пределах от $-A\omega^2$ до $+A\omega^2$.

Наибольшее значение силы давления $F_{max}$ достигается, когда ускорение тела C максимально и направлено вверх (в нижней точке траектории). В этом случае $a_{1, max} = A\omega^2$.

$F_{max} = (m_1 + m_2)g + m_1 A \omega^2$.

Наименьшее значение силы давления $F_{min}$ достигается, когда ускорение тела C минимально (то есть максимально по модулю и направлено вниз, в верхней точке траектории). В этом случае $a_{1, min} = -A\omega^2$.

$F_{min} = (m_1 + m_2)g - m_1 A \omega^2$.

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с$^2$.

Суммарный вес системы в состоянии покоя равен:

$(m_1 + m_2)g = (1,0 \text{ кг} + 4,1 \text{ кг}) \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 5,1 \cdot 9,8 = 49,98$ Н.

Добавочная сила, обусловленная колебаниями, имеет амплитудное значение:

$m_1 A \omega^2 = 1,0 \text{ кг} \cdot 0,016 \text{ м} \cdot (25 \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2 = 0,016 \cdot 625 = 10$ Н.

Теперь найдем максимальную и минимальную силы давления:

$F_{max} = 49,98 \text{ Н} + 10 \text{ Н} = 59,98$ Н.

$F_{min} = 49,98 \text{ Н} - 10 \text{ Н} = 39,98$ Н.

Ответ: наибольшее значение модуля силы давления $F_{max} = 59,98$ Н; наименьшее значение $F_{min} = 39,98$ Н.