Номер 1307, страница 243 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса диска: $M$
Масса кольца: $m$
Жесткость пружины: $k$
Высота падения кольца: $h$

Найти:

Амплитуда колебаний $A$.

Решение:

Решение задачи можно разбить на несколько этапов: нахождение скорости кольца перед ударом, применение закона сохранения импульса для неупругого удара, и применение закона сохранения энергии для определения амплитуды последующих колебаний.

1. Начальное состояние и скорость кольца.
Изначально диск массой $M$ находится в положении равновесия, растягивая пружину на величину $x_1 = \frac{Mg}{k}$.
Кольцо массой $m$ падает с высоты $h$. По закону сохранения механической энергии, его скорость непосредственно перед ударом $v_m$ находится из соотношения $mgh = \frac{1}{2}mv_m^2$, откуда $v_m = \sqrt{2gh}$.

2. Абсолютно неупругий удар.
В момент удара импульс системы "кольцо + диск" сохраняется. До удара импульс системы равен импульсу кольца $p_1 = mv_m$, так как диск покоится. Сразу после удара кольцо и диск движутся вместе как единое целое с общей скоростью $u$, и их импульс равен $p_2 = (M+m)u$. Из закона сохранения импульса $p_1 = p_2$:
$mv_m = (M+m)u$
$u = \frac{m}{M+m}v_m = \frac{m\sqrt{2gh}}{M+m}$.
Эта скорость является начальной скоростью для гармонических колебаний системы.

3. Амплитуда колебаний.
После удара система "диск + кольцо" массой $(M+m)$ колеблется около нового положения равновесия $x_{eq}$. В этом положении сила упругости уравновешивает суммарную силу тяжести: $kx_{eq} = (M+m)g$, откуда $x_{eq} = \frac{(M+m)g}{k}$.
Полная механическая энергия системы в процессе колебаний сохраняется. Эту энергию можно выразить через амплитуду $A$: $E = \frac{kA^2}{2}$. Также ее можно рассчитать для любого момента времени как сумму кинетической и потенциальной энергии (относительно положения равновесия): $E = \frac{1}{2}(M+m)v^2 + \frac{1}{2}kx^2$, где $x$ — смещение от нового положения равновесия $x_{eq}$.
Рассмотрим момент сразу после удара. В этот момент система находится в положении $x_1$ (старое положение равновесия). Смещение от нового положения равновесия составляет: $x_0 = x_1 - x_{eq} = \frac{Mg}{k} - \frac{(M+m)g}{k} = -\frac{mg}{k}$.
Скорость системы в этот момент равна $u$.
Приравняем выражения для полной энергии:
$\frac{kA^2}{2} = \frac{1}{2}(M+m)u^2 + \frac{1}{2}kx_0^2$
$kA^2 = (M+m)u^2 + kx_0^2$
Подставим значения $u$ и $x_0$:
$kA^2 = (M+m)\left(\frac{m\sqrt{2gh}}{M+m}\right)^2 + k\left(-\frac{mg}{k}\right)^2$
$kA^2 = (M+m)\frac{m^2 \cdot 2gh}{(M+m)^2} + k\frac{m^2g^2}{k^2}$
$kA^2 = \frac{2m^2gh}{M+m} + \frac{m^2g^2}{k}$
Разделим обе части на $k$:
$A^2 = \frac{2m^2gh}{k(M+m)} + \frac{m^2g^2}{k^2}$
Извлечем корень, чтобы найти амплитуду:
$A = \sqrt{\frac{m^2g^2}{k^2} + \frac{2m^2gh}{k(M+m)}} = \frac{m}{k}\sqrt{g^2 + \frac{2kgh}{M+m}}$.

Ответ: $A = \frac{m}{k}\sqrt{g^2 + \frac{2kgh}{M+m}}$