Номер 11, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. В арифметической прогрессии $a_7 = 9$. Найдите значение выражения $20d$, где $d$ — значение разности арифметической прогрессии, при котором произведение $a_1 \cdot a_2 \cdot a_7$ принимает наименьшее значение.

По условию задачи, дан седьмой член арифметической прогрессии $a_7 = 9$. Нам необходимо найти значение выражения $20d$, где $d$ — это разность прогрессии, при которой произведение $P = a_1 \cdot a_2 \cdot a_7$ принимает наименьшее значение.

Сначала выразим члены прогрессии $a_1$ и $a_2$ через известный член $a_7$ и разность $d$, используя формулу n-го члена $a_n = a_k + (n-k)d$:
$a_1 = a_7 + (1-7)d = 9 - 6d$
$a_2 = a_7 + (2-7)d = 9 - 5d$

Теперь запишем произведение $P$ как функцию от переменной $d$:
$P(d) = a_1 \cdot a_2 \cdot a_7 = (9 - 6d)(9 - 5d) \cdot 9$

Эта функция является квадратичной относительно $d$. Она представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $d^2$ будет равен $(-6) \cdot (-5) \cdot 9 = 270$, что больше нуля. Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине.

Координату вершины параболы можно найти, зная её корни. Корни уравнения $(9 - 6d)(9 - 5d) = 0$ — это значения $d$, при которых произведение равно нулю.
$9 - 6d = 0 \implies 6d = 9 \implies d_1 = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
$9 - 5d = 0 \implies 5d = 9 \implies d_2 = \frac{9}{5}$

Вершина параболы находится посередине между её корнями. Найдем абсциссу вершины $d_v$, которая и будет искомым значением $d$:
$d_v = \frac{d_1 + d_2}{2} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{9}{5}}{2} = \frac{\frac{15}{10} + \frac{18}{10}}{2} = \frac{\frac{33}{10}}{2} = \frac{33}{20}$

Таким образом, произведение $P$ принимает наименьшее значение при $d = \frac{33}{20}$. Теперь мы можем найти значение искомого выражения $20d$:
$20d = 20 \cdot \frac{33}{20} = 33$

Ответ: 33