Номер 7, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если

$a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = 20.$

а) 80;

б) 120;

в) 90;

г) 110;

д) 100.

Для решения задачи воспользуемся свойством арифметической прогрессии: для любых натуральных чисел $k, l, m, p$, если $k+l = m+p$, то справедливо равенство $a_k + a_l = a_m + a_p$.

Рассмотрим индексы членов прогрессии из данного в условии равенства $a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = 20$.

Сумма крайних индексов равна сумме средних индексов: $6 + 15 = 21$ и $9 + 12 = 21$.

Следовательно, по свойству арифметической прогрессии, суммы соответствующих членов равны: $a_6 + a_{15} = a_9 + a_{12}$.

Перегруппируем слагаемые в исходном равенстве:

$(a_6 + a_{15}) + (a_9 + a_{12}) = 20$

Так как $a_6 + a_{15} = a_9 + a_{12}$, мы можем записать:

$2 \cdot (a_6 + a_{15}) = 20$

Отсюда находим значение суммы $a_6 + a_{15}$:

$a_6 + a_{15} = 10$

Теперь воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Нам нужно найти $S_{20}$. Формула для этого случая:

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = (a_1 + a_{20}) \cdot 10$

Заметим, что для пары $a_1$ и $a_{20}$ сумма индексов также равна $1+20 = 21$. Значит, по тому же свойству прогрессии:

$a_1 + a_{20} = a_6 + a_{15}$

Поскольку мы нашли, что $a_6 + a_{15} = 10$, то и $a_1 + a_{20} = 10$.

Подставим это значение в формулу для $S_{20}$:

$S_{20} = 10 \cdot 10 = 100$

Сумма первых двадцати членов прогрессии равна 100.

д) 100. Ответ: 100