Номер 14, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Арифметическая прогрессия содержит 8 членов. Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 28, а сумма членов, стоящих на нечетных местах, равна 16. Найдите первый член прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Всего в прогрессии 8 членов.

По условию, сумма членов, стоящих на нечетных местах (1-м, 3-м, 5-м, 7-м), равна 16. Запишем это в виде уравнения:

$S_{нечет} = a_1 + a_3 + a_5 + a_7 = 16$

Сумма членов, стоящих на четных местах (2-м, 4-м, 6-м, 8-м), равна 28:

$S_{чет} = a_2 + a_4 + a_6 + a_8 = 28$

Каждый член на четном месте ($a_{2k}$) можно выразить через предыдущий член на нечетном месте ($a_{2k-1}$) и разность прогрессии $d$, то есть $a_{2k} = a_{2k-1} + d$.

Вычтем из суммы членов на четных местах сумму членов на нечетных местах:

$S_{чет} - S_{нечет} = (a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + (a_6 - a_5) + (a_8 - a_7)$

Поскольку разность между любым членом и предыдущим равна $d$, получаем:

$S_{чет} - S_{нечет} = d + d + d + d = 4d$

Подставим известные значения сумм и найдем разность прогрессии $d$:

$28 - 16 = 4d$

$12 = 4d$

$d = 3$

Теперь, зная разность, найдем первый член $a_1$. Используем сумму членов на нечетных местах, выразив каждый член через $a_1$ и $d$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + (a_1 + 6d) = 16$

Приведем подобные слагаемые:

$4a_1 + 12d = 16$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$a_1 + 3d = 4$

Подставим найденное значение $d=3$ в это уравнение:

$a_1 + 3 \cdot 3 = 4$

$a_1 + 9 = 4$

$a_1 = 4 - 9$

$a_1 = -5$

Ответ: -5