Номер 8, страница 192 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Составьте формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 + a_2 + a_3 = 66$, $a_2 \cdot a_3 = 528$.

а) $a_n = 20n$;

б) $a_n = 2n + 20$;

в) $a_n = 2n + 18$;

г) $a_n = 20n + 2$;

д) $a_n = 4n + 16$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами арифметической прогрессии $(a_n)$ и данными из условия: $a_1 + a_2 + a_3 = 66$ и $a_2 \cdot a_3 = 528$.

Основное свойство арифметической прогрессии гласит, что каждый ее член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов: $a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$.

Применив это свойство для $a_2$, получаем $a_1 + a_3 = 2a_2$. Подставим это соотношение в первое условие задачи:

$(a_1 + a_3) + a_2 = 66$

$2a_2 + a_2 = 66$

$3a_2 = 66$

Отсюда находим значение второго члена прогрессии:

$a_2 = \frac{66}{3} = 22$

Теперь, используя второе условие и найденное значение $a_2$, найдем третий член прогрессии:

$a_2 \cdot a_3 = 528$

$22 \cdot a_3 = 528$

$a_3 = \frac{528}{22} = 24$

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее, зная $a_2$ и $a_3$:

$d = a_3 - a_2 = 24 - 22 = 2$

Зная разность прогрессии, можем найти ее первый член $a_1$:

$a_1 = a_2 - d = 22 - 2 = 20$

Теперь, когда известны первый член $a_1=20$ и разность $d=2$, мы можем составить формулу n-го члена прогрессии, которая имеет общий вид $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_n = 20 + (n-1) \cdot 2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a_n = 20 + 2n - 2$

$a_n = 2n + 18$

Сравнив полученную формулу с предложенными вариантами, заключаем, что верным является вариант в).

в) Ответ: $a_n = 2n + 18$