Номер 13, страница 193 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

13. Цена товара снижалась несколько раз на одно и то же число рублей. После третьего снижения товар стоил 2460 р., а после одиннадцатого снижения — 1980 р. Найдите, после скольких снижений цена товара составит 50 % первоначальной цены.

Поскольку цена товара снижалась каждый раз на одно и то же число рублей, последовательность цен после каждого снижения образует арифметическую прогрессию.

Обозначим первоначальную цену товара как $a_0$, а величину снижения как $x$. Тогда цена товара после $n$-го снижения, $a_n$, вычисляется по формуле: $a_n = a_0 - n \cdot x$.

Из условия задачи нам известны цены после третьего и одиннадцатого снижений, что позволяет составить систему уравнений:
1) $a_3 = a_0 - 3x = 2460$
2) $a_{11} = a_0 - 11x = 1980$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти величину одного снижения $x$:
$(a_0 - 3x) - (a_0 - 11x) = 2460 - 1980$
$a_0 - 3x - a_0 + 11x = 480$
$8x = 480$
$x = \frac{480}{8} = 60$ рублей.

Теперь, зная величину снижения, найдем первоначальную цену $a_0$, подставив значение $x$ в первое уравнение:
$a_0 - 3 \cdot 60 = 2460$
$a_0 - 180 = 2460$
$a_0 = 2460 + 180 = 2640$ рублей.

Далее найдем, при каком количестве снижений $n$ цена товара составит 50% от первоначальной. Сначала вычислим целевую цену:
$0.5 \cdot a_0 = 0.5 \cdot 2640 = 1320$ рублей.

Теперь найдем количество снижений $n$, необходимое для достижения этой цены, используя общую формулу $a_n = a_0 - n \cdot x$:
$1320 = 2640 - n \cdot 60$
$60n = 2640 - 1320$
$60n = 1320$
$n = \frac{1320}{60} = 22$

Таким образом, цена товара составит 50% от первоначальной после 22 снижений. Ответ: 22